こんにちは。鈴木です。
中学受験をお考えの方や、まさに受験生の生徒さん、中学生になったけど、宿題に追われている生徒さんは、この夏もたくさん勉強されたのではないでしょうか。
今日は、単位量あたりの大きさに関する重要な例題について、書いていきますね。
単位量あたりの大きさに関する授業を行っていると、こんな声をよく聞くのですが、このブログの読者さんも、思い当たるところはないでしょうか。
・問題文を読んだけど、式を立てられない
・〇〇を求めなさいと書いてあるけれど、何をはじめに求めるのか分からない
・解説を読んだけど、なぜそう考えるのか知りたい
・本当のことを言うと、考えるのがめんどくさい
・１回解き方を教われば分かるけれど、自分一人ではもう一度やれと言われたらできない
この記事では、そんな人たちに向けて、まずはこの記事に出ている例題からやってみてほしい！ というものを中心に、問題の考え方や解き方について、お話していきます。
例題１． １平方メートルあたり何ｋｇとれるのかを考える問題
ある面積あたり、どのくらいの野菜がとれるのかを問う問題は、どの問題集にも載っているので、重要な例題の一つです。
以下の例題を考えていきますね。
例題１． たろうさんの畑５００平方メートルからじゃがいもが６７５ｋｇとれ、じろうさんの畑６００平方メートルから７８０ｋｇのじゃがいもがとれました。どちらの畑の方が、多くとれたと言えますか？
もしも均等にじゃがいもが埋まっていたら・・・
問題文には、５００平方メートルの畑から、６７５ｋｇとれたとあります。
１平方メートルあたり、どのくらいとれたのかを考えていくのですが、その前に、問題文には書いていないけれど、大事な仮定が一つあります。
それは、畑の中に、均等にじゃがいもが埋まっているということです。
実際には、土の中を掘り起こしてみて、大量にじゃがいもがとれる場所もあれば、あまりとれない場所もありますよね。(じゃがいも掘りをやったことがある方なら、お分かりだと思います)
しかし、均等にじゃがいもが埋まっていると考えることで、同じ面積の畑であっても、じゃがいもとじゃがいもの間隔がせまいほど、よくとれたと言えるのではないか？ と期待され、その期待を分かりやすく、計算として出そうというのが、この問題のねらいでもあるのです。
半分の面積あたりどれだけ取れるのかを考える
じゃがいもが畑の中で、等間隔に並んでいるところを、思い浮かべられたでしょうか。
５００平方メートルで６７５ｋｇ、６００平方メートルで７８０ｋｇとれたとありますが、半分の面積では、どのくらいとれたことになるのでしょうか。
じゃがいもが、等間隔に並んでいるので、面積が１/２になれば、とれるじゃがいもの量も１/２になりますよね。
たろうさんの畑では、２５０平方メートルで３３７．５ｋｇ、じろうさんの畑では、３００平方メートルで３９０ｋｇとれたことになります。
さて、これからさらに、面積を半分にしていきましょう。
たろうさんの畑では、１２５平方メートルあたり１６８．７５ｋｇ、じろうさんの畑では、１５０平方メートルあたり、１９５ｋｇとれたことになりますよね。
面白そうなので、この記事を読んでおられる方は、面積をどんどん１/２にしていき、そこでとれるじゃがいもの量も、１/２にしてみて下さい。
かけ算か？ それともわり算か？
ここから問題の具体的な解き方につながる部分を、解説していきますね。
じゃがいもが等間隔に並んでいるということから、面積を１/２にすると、とれるじゃがいもの量も１/２になるということがお分かりいただけたところで、同じように
・面積が１/３になると、とれる量も１/３になる
・面積が１/１０になると、とれる量も１/１０になる
・・・
という考え方を、一般化していきます。
上で述べた例だと、面積を１/４にして考えたところで、１２５平方メートルで１６８．７５ｋｇ、１５０平方メートルで１９５ｋｇとなって、面積が違っていることから、どちらの畑の方がよくできているのかが分からない！ という声も聞こえてきそうですよね。
そこで出てくるアイディアが、面積を１平方メートルとして考えると、分かりやすいのではないか？ というものです。
５００平方メートルの畑は、１/２にすると２５０平方メートル、１/４にすると１２５平方メートル、１/１０にすると５０平方メートル、・・・、１/１００にすると５平方メートルとなりますよね。
逆に、１平方メートルにするには、１/５００にしてあげれば良いのです。
畑を１/５００にすると、とれるじゃがいもも１/５００になるわけですので、たろうさんの畑では、１平方メートルあたり、６７５ｋｇの１/５００の量だけ、じゃがいもがとれるのです。
ここで確認しておきたいのが、６７５ｋｇの１/５００と言われたら、その答ははかけ算で求められるのか、わり算で求められるのか？ ということです。
答えは、どちらも正解なのですが、かけ算になるのであれば
・６７５×(１/５００)
・６７５×５００
のどちらが正解なのかを、確認しておきたいところです。
わり算の場合も
・６７５÷(１/５００)
・６７５÷５００
のどちらが合っているのか、考えるべきポイントです。
この問題の正解は、たろうさんの畑では、１平方メートルあたり６７５÷５００＝１．３５ｋｇ、じろうさんの畑では、１平方メートルあたり７８０÷６００＝１．３ｋｇとなって、たろうさんの畑の方が、少しだけよくとれたと言えます。
本当に、僅差でしたね。
例題２． 人口密度を求める問題
人口密度の問題は、単位量あたりの大きさを学んでいく上で、必ず出てくるものの一つです。
こんな例題から考えていきますね。
例題２．あかりさんの住んでいるA県は、人口が１９３００００人で、面積が７１０0平方キロメートルです。おばあさんの住んでいるB県は、人口が７９００００人で、面積が６６３０平方キロメートルです。それぞれの人口みつ度を求めて、どちらが何人多いか調べなさい。
そもそも人口密度とは？
人口密度とは何かを、少しお話しておきますね。
人口密度とは、単位面積(普通は１平方キロメートル)の中に、何人の人が住んでいるのかを、数値として表したものです。
先に出てきたじゃがいもの問題と同じく、人が等間隔に並んでいることを仮定して、一つの町にどれだけ人口が密集しているのかを、計算して求めるわけです。
町全体がもしも正方形だったら・・・
町や県がどんな形をしているのかを考えたとき、普通はいびつな形をしていることが多いですよね。
ところが、それではどのくらいの面積の町に、人がどの程度住んでいるのかということを、考えにくいわけです。
ですので、町全体を正方形として考えて、その正方形の上に、何人の人が立っているのかをイメージして、人口密度を求めていくのです。
１平方キロメートルの正方形の上に何人立っているのかを考える
問題文には、人口１９３００００人で、面積７１００平方キロメートルとあります。
ここでは、じゃがいもの問題と同じく、７１００平方キロメートルの正方形の中に、人が等間隔に、１９３００００人立っていることを仮定します。
この問題も、はじめは面積を１/２にしたときのことを考えてみると、後で人口密度の求め方や、それに関する式の立て方などが、理解しやすくなっていきます。
面積を１/２にすると、３５５０平方キロメートル、人口は９６５０００人となります。
次々に、面積を１/４、１/１０、・・・としていったときのことを考えて、面積が１/１００になれば、人口もそれにつられて１/１００になるということがイメージできてくると、１平方キロメートルあたりの人口を求めるには、どんな計算をするのかが、分かってくるはずです。
人口密度は(人口)÷(面積)で求める
ということで、人口密度(つまり１平方キロメートルあたり何人の人が住んでいるのか)を求めるためには、上に書いた考え方から、(人口)÷(面積)を計算すれば良いことになります。
これまでのアイディアを振り返ると
・町や県全体を、一つの正方形として考える
・一つの正方形の中に、人が等間隔に並んでいると考える
・面積を何分の１かすれば、それにともなって、人口も同じ割合で何分の１かになる
ということになります。
こうした考えのもとで、問題を解いていくと、A県の人口密度は
１９３００００÷７１００=２７１．８３０・・・
B県の人口密度は
７９００００÷６６３０＝１１９．１５５・・・
となります。
この問題の場合、どちらも面積が約７０００平方キロメートルと考えることもできて、A県はB県よりも２倍近く人が住んでいるので、人口密度も約２倍となっていることが分かります。
(人口)÷(面積)を計算することで、同じ面積の土地に、ぎっしりと人が住んでいるのか、そうでないのかが、はっきりと分かる形になるのです。
１人あたり何平方キロメートル？
ちなみにですが、逆に(面積)÷(人口)を計算することで、１人あたり何平方キロメートル占めているのかを計算する考え方もあります。
もう少しイメージしやすい例だと、床に人が座るときに、一人あたりどのくらいの面積をとることができるのかを考えることと、全く同じことです。
例えば、たてもよこも１５ｍの正方形の形をした床に、３０人の人が座るときに、一人あたりどれくらいの面積を確保できるのかを考えてみます。
床の面積は２２５平方メートルとなり、ここに３０人が座るとなると、ここでもやはり
人数が１/３の１０人だったら、何平方メートル確保できるのか？
といった具合に、人が等間隔に座ることを考えて、少しずつ面積を狭めていきます。
１０人が座るとなったら、２２５÷３＝７５平方メートル分は、確保できることになります。
６人が座るとなったら、２２５÷５＝４５平方メートル確保できるのです。
つまり、１人が座るとなったら、２２５÷３０(面積÷人数)を計算することで、１人分の面積が求められます。
(面積)÷(人口)を計算することで、感覚的には人と人がどれだけ離れているのかということが分かるのです。
１人分の面積が広ければ、他の人との間隔が広くなっているということですし、逆にせまければ、他の人との間隔が、そこまであいていないことを意味します。
例題３． 車の燃料に関わる問題
単位量あたりの大きさは、上に出てきた問題からも分かる通り、１平方メートルあたりいくらか、１平方キロメートルあたり何人いるのか、といったことを考える場面が多く出てきます。
こうした例をもとに、今度はこんな問題を考えてみたいと思います。
例題３．３０L(リットル)のガソリンで４８０ｋｍ走るA自動車と、５０Lのガソリンで７００ｋｍ走るB自動車があります。より少ないガソリンで、多く走ることができるのは、どちらの自動車ですか。
１Lがどれだけかを思い浮かべる
１Lと聞いて、どのくらいの量なのかが、すぐに分かる方も多いと思います。
牛乳１本分ですよね。
つまりA自動車は、牛乳３０本分のガソリンで、４８０ｋｍ走ることができるのです。
それに対してB自動車は、牛乳５０本分のガソリンで、７００ｋｍ走れるのです。
記事をここまで読んでいただいた方は、もう分かってきたと思うのですが、この問題では、牛乳１本分のガソリンでは、どのくらい走れるのか？ を考えることになるのです。
半分の燃料でどれだけ走れるのかを考える
毎回同じことを考えていますが、ここでも、ガソリンの量を１/２にしたらどうなるのか？ １/１０にしたらどうなるのか？ ということを考えていき、１Lのガソリンで走る距離の計算の仕方を、探っていくわけです。
A自動車は、１５Lのガソリンで２４０ｋｍ、B自動車は２５Lのガソリンで、３５０ｋｍ走ります。
A自動車は、１０Lのガソリンで１６０ｋｍ、B自動車は１０Lのガソリンで１４０ｋｍ走るのです。
実はこの時点で、A自動車の方がB自動車よりも、同じ量のガソリンで、長い距離走れることが分かります。
まとめると、１Lあたりどれくらい走れるのかを求めるには、距離をガソリンの量で割れば良いことになります。
この問題の場合は、A自動車の方は１Lあたり１６ｋｍ、B自動車の方は１Lあたり１４ｋｍとなって、A自動車の方が長く走れることが分かります。
１０００ｋｍ走るための燃料はどれだけか？
さて、これまでは１Lあたり何ｋｍ走れるのかを考えてきたわけですが、今度は逆に、このくらいの距離を走るには、ガソリンはどれくらい必要なのか？ という問題を考えていくことにします。
まずは、A自動車の方から考えてみます。
３０Lで４８０ｋｍ走れるということから、１５Lで２４０ｋｍ、１０Lで１６０ｋｍ、・・・、と考えてきた結果、1Lで走れる距離は４８０÷３０＝１６(km)という答が出てきたのです。
この関係を、もう少し注意して見ていくと、あることに気がつきます。
２４０÷１５＝１６、１６０÷１０＝１６となって、３０Lで４８０ｋｍ走れるA自動車は、距離とガソリンの量について、常に(距離)÷(ガソリンの量)＝１６になることが分かります。(他の数値でも試してみて下さい)
この関係から、１０００ｋｍ走るためのガソリンの量をxとでも置けば
１０００÷x＝１６
となって、この式の中に出てきたxの値を求めることになります。
答えは、x=1000÷16=62.5となり、1000km走るためには、62.5Lあれば良いことが分かります。
例題４． 重さと長さが分かるはり金の問題
鉄の棒などは、ある長さあたりの重さが分かれば、1mあたりの重さが分かります。
こうした問題を解いていく上では、同じものに対して「長さは何m」、「重さは何kg」という風に、2通りの見方をすることがポイントになります。
以下の例題を見ていきますね。
例題４．あるはり金は、５ｍで２４０ｇの重さがあります。また、このはり金のねだんは、１００ｇが５０円です。
（１）このはり金３６ｍの重さは、何ｇですか。
（２）このはり金２４０ｍのねだんは、何円ですか。
はり金は重さが一様
これまでに見てきた例題もそうですが、問題を解く前に、あることを仮定した上で、解き方を考えていく場面が多くありました。
例えば、野菜が等間隔に並んでいたり、町全体を正方形として考えることなどが、解き方を考えるための仮定にあたります。
はり金や、鉄の棒の重さに関する問題も、以下に示す仮定がポイントになります。
・はり金や鉄の棒はどこも重さが同じ
・つまり、はり金や鉄の棒を持ったときに、極端に重い部分や、軽い部分はない
・はり金や鉄の棒を、等間隔にカットした場合、カットされたものは、全て重さが同じ
まずは半分の長さの重さから
毎度のことですが、長さを1/2にした場合のことを、まずは考えて下さい。
重さがどこも同じですので、はり金を2本ずつにカットすると、この問題の場合、2本で240gとなります。
つまり、1本(2.5m)あたり120gです。
問題では5mとあるので、1mあたりの重を出したいときは、5本にカットすれば良いのです。
というわけで、1mあたりの重さは、240÷5=48(g)となります。
問題文をもう一度読む！
この問題では、３６ｍの重さが聞かれています。
１ｍあたりの重さを出して、それで終わりにしてしまう生徒さんもいますので、問題を解くときは、必ず問題文を繰り返し読むことを意識して下さい。
１ｍ４８ｇでしたので、３６ｍの場合は、４８×３６＝１７２８(g)となります。
いきなり、３６ｍのときの答を出すのが難しいと感じるときは
・２ｍだったら重さはいくら？
・３ｍだったら重さはいくら？
・・・
・３６ｍのときの重さを出すには、かけ算かな？それともわり算かな？
という具合に考えていくことができると、分かりやすく、理解していくことができます。
自分で長さと値段の関係を見つける
(2)では、はり金２４０ｍの値段を聞かれています。
問題文に出てきた条件をまとめると
・はり金５ｍの重さは２４０ｇ
・はり金１００ｇの値段は５０円
ということが分かっています。
これらから、まずは長さと値段の関係を見つけていくことが求められます。
２つの条件をつなぐものに注目する
問題文では、「長さと重さ」、「重さと値段」の関係について書かれています。
５ｍの重さが２４０ｇ、１００ｇの値段が５０円とありますが、実はこのとき、５ｍの値段が分かります。
というのも、２４０ｇの値段を出すことができるからです。
１００ｇの２．４倍が２４０ｇなので、値段も２．４倍して、５０×２．４＝１２０(円)と求めることができます。
つまり、長さ５ｍの値段が、１２０円であることが分かりました。
この問題では、「長さと重さ」、「重さと値段」の２つの条件があったとき、重さをそろえることで、２つの条件を結びつけることができ、長さと値段の関係が分かったのです。
１ｍの値段は２４円となるので、２４０ｍの値段は２４×２４０＝５７６０(円)となります。
例題５． １個あたりの重さを求める問題
これまでに見てきた問題以外にも、「1個あたりの値段や重さ」や、「一人あたりの料金」などを求める問題があります。
こうした問題は、上に出てきた４つの例題を解くときの考え方をもとにして
あの問題を解くときには、こんな風に解いたから、ここでもそのやり方で解ける！
ということを考えられるようになると、問題を解くのが楽しくなってくると思います。
次は、こんな問題です。
例題５．ある大きさの消しゴムは、５０個で３３５ｇの重さがありました。この消しゴム１３４ｇでは、何個ありますか？
まずは１個あたりの重さを求める
５０個の消しゴムを全て描くのはおすすめできないですが、実際に消しゴムの絵を描いてみたりすると、問題文のイメージがつかめてくると思います。
これまでにも、１平方キロメートルあたりの人数、ガソリン１Lで走れる距離などを求める問題において、問題文に書いてある数値の半分だったときのことなどを考えて、問題を考えてきましたよね。
ここでも、そんな考え方をマネして解けると良いのですが、少し数学の考え方も取り入れて
問題を解いてみます。
１個あたりの重さを〇とおく
消しゴム１個あたりの重さを〇とでもおくと、５０個あったときの全体の重さは、どんな式になるでしょうか。
２個あったら、〇＋〇で、〇×２、３個あったら〇×３、・・・ と考えていくと、５０個あったときの全体の重さは、〇×５０となります。
そして、いま〇×５０が、３３５になっています。
式でかくと、〇×５０＝３３５ となるのです。
これを解いて、〇＝３３５÷５０＝６．７ と１個あたりの重さを求めることができます。
単位を気にしながら解くとよく分かる！
問題では、１３４ｇでは何個あるのかを問われています。
上に出てきた〇×５０ という式を、単位という観点から見直してみたいと思います。
１個あたりの重さを〇とおき、結果として〇＝６．７(g)という答が出てきました。
６．７×５０ という式をよく見てみると
(１個あたりの重さ)×(個数)＝(全体の重さ)・・・(＊)
となっているわけです。
いまここでは、全体の重さが１３４ｇのときの個数を求めなさいと言われています。
上の (＊) の式に、全体の重さ１３４ｇ、１個あたりの重さ６．７ｇをあてはめてみると
６．７×(個数)＝１３４
となるわけです。
ここまでくると、話は分かりやすく
(個数)＝１３４÷６．７＝２０
という風に、答が出てきてくれます。
この記事のまとめ
単位量あたりの大きさに関する例題の中でも、これは必ず練習しておきたい！ というものを中心に解説してきましたが、いかがだったでしょうか。
多くの生徒さん(特に女子生徒)を見てきて、ここ最近、中学の数学、ひいては高校の数学までを学ぶにあたって、どこからつまづきやすくなってしまうのかを考えたときに、単位量あたりの大きさに関する苦手意識が関係しているなと感じます。
特に算数から苦手意識を持ってしまうと、その後数学に対しても、あまり良いイメージを持てなくなってしまうので、なるべくなら、早いうちから、算数とは仲良く(？)しておいた方が良いですよね。
ここに出てきた例題を自分で解いてみて、その後にその類題を解いてみると、必ず力はついてきます！
この記事の読者さんや、そのお子さんは、ぜひともゆっくりで良いので、この記事を何度も読み、問題演習を繰り返してみて下さい。
算数が楽しくなってくると思います！
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