こんにちは。数学学習コンサルタントの鈴木です。
今回は、倍数と約数についての基本的な問題について、その考え方や注意すべきポイントをまとめてみました。
・割る数、割られる数の違いがあいまい
・問題の解き方は分かるけれど、今いち何をしているのか分からない
・問題の見直しの仕方がよく分からない
など、この分野はただただ計算しているだけになってしまうと、上に書いたような問題が起きてきます。
問題の解き方だけではなく、振り返りのポイントについても、以下で解説していきます。
倍数と約数に関する基本問題
まずは倍数に関する問題の解き方から見ていきます。
２けた(10～99)の整数について、次の問いに答えなさい。
(1) ６の倍数は何個あるでしょうか。
(2) 96の約数をすべて答えなさい。
倍数とは何だったか、説明できることが大事です。
Aの倍数と言われたら
A×１、A×２、A×３、・・・、といった具合に、Aに数えられる数(自然数)をかけて得られる数全体のことです。
これから、問題を解く上での注意点について、見ていくことにします。
問題文に注意する
問題文を読むと、「２けたの整数」とあります。
倍数という言葉のみに振り回されずに、問題文に書いてあったことを常に意識しながら解くことが大事です。
問題文の中には、ムダなことは一つも書いていない！ と心得ることが大事です。
具体的に数を書きだす
倍数や約数の問題でポイントとなるのは、「例えばどんな数があるのか？」について、自分で調べてみることです。
解き方を意識するのは、その後で十分です。
この問題では、６の倍数とあるので、実際に
６×１、６×２、６×３、・・・、と計算してみて下さい。
ただ問題文には、２けたの整数とあるので、あてはまるのは
６×２、６×３、・・・、６×１５、６×１６
です。
全部で何個あるのかを調べるときの注意
上に書いた数に注目すると、×２、×３、×４、・・・、×１５、×１６ とあります。
もし、×１からはじまったら、並んでいる数は全部で１６個あることになりますが、×２からはじまっていますよね。
つまり、並んでいる数は全部で１５個あることにります。
この１５という数字は、出し方としては
１６−２＋１
となります。
はじめからおわりまで、数が全部で何個並んでいるのかを調べることについては
(はじめの番号)−(おわりの番号)＋１
といった具合に、＋１をすることを忘れないで下さいね。
約数は対(つい)になるものを順次書き出す
９６だけではなく、ある数Aの約数を考えるときには、「約数同士をかけてAになるような約数の対」を順番に考えていくことが大事です。
例えば、１２の約数を調べるときに
２、６、４、３、・・・
など、数の並びとしてバラバラに考えるよりも
(1、１２)、(２、６)、(３、４)
という風に考える方が、ミスもほぼなく書き出せます。
というわけで、９６の約数は
(１、９６)、(２、４８)、(３、３２)、(４、２４)、(６、１６)、(８、１２)
となって、この中で２けたのものは
１２、１６、２４、３２、４８、９６
となることが分かります。
約数はバラバラではなく、対になるものを順番に考えていって下さいね。
最大公約数の問題
次はこんな問題です。
１４４を割っても、１９８を割っても割りきれる整数Aを全て求めなさい。
「割る数」「割られる数」の違い
割る数、割られる数について理解しておくことが大切です。
この問題の場合、１４４「を」割るとあるので、１４４は割る数か、割られる数のどちらか、すぐに分かるでしょうか。
１４４は、「割られる数」なのです。
１４４と１９８を割りきる数は、例えばどんなものがあるかというと、２はすぐに分かります。
次は３もあてはまります。
ということはこの時点で、６もあてはまることが分かります。
この問題では、ひたすら１４４と１９８の公約数(どちらの数も割りきる数)を探すのですが、その中で最大のもの(最大公約数)を、まずは先に探します。
１４４と１９８の最大公約数は、１８となります。
最大公約数の約数を求める
あとは１８の約数を求めれば良いわけですが、このことについて、少し説明をしていきます。
１４４＝１８×８、１９８＝１８×１１
となるわけですが、１８という数字は
１×１８、２×９、３×６
と書くことができます。
これらを使って
１４４＝２×９×８、１９８＝２×９×１１
という風に書いてあげても良いわけです。
この式を見ると、１４４と１９８は、２でも３でも６でも９でも割り切れる ことがお分かりかと思います。
こんな感じに、式を少し変えて書いてあげるだけで、１４４と１９８は１８の約数で割り切れる ことが分かるのです。
というわけで、整数Aは１、２、３、６、９、１８ となります。
最小公倍数の問題
次は公倍数に関する問題です。
８で割っても１２で割っても割りきれる整数のうち、小さい方から数えて４番目の数はいくつですか。
「割る数」「割られる数」に再度注意
お次は８「で」割る数とあるますよね。
つまり、８は割る数となります。
８で割り切れる数とは、どんなものがあるでしょうか。
数を書き出してみる
ここでもやはり、数を書き出すことが大事です。
８で割り切れる数は
８、１６、２４、３２、４０、・・・
といった具合に、言い換えると８の倍数になっていることが分かります。
１２で割り切れる数は
１２、２４、３６、・・・
といった具合に、１２の倍数となります。
上に書き出した数を見比べてみると、まずは２４が共通しています。
この２４という数字は、具体的にどんな意味を持つ数かお分かりでしょうか。
そうです。
８と１２の最小公倍数です。
最小公倍数の倍数を考える
さて、この問題は、２４の倍数を考えれば良いことになるのですが、このことについても、お話します。
２４＝８×３、２４＝１２×２
と書いてみると、見えてくるものがあります。
例えば、２４＝８×３という式の左と右に、さらに×２をしてみると
２４×２＝８×３×２=(４８)
となって、４８も８で割り切れることが分かります。
一方で、２４＝１２×２という式に同じことをしてみても
２４×２＝１２×２×２＝４８ となって、やはり４８も１２で割り切れることが分かります。
２４×３、２４×４、・・・という具合に、２４の倍数を順次作っていくと、上でお話した考え方から、２４の倍数は全て、８でも１２でも割り切れることが分かるのです。
問題文を振り返る
問題では、小さい方から数えて４番目の数を求めなさい とありました。
つまり、上で考えたことから２４×４を計算しさえすれば良くて、答は９６となります。
余りが出る数に関する問題
まずはこんな典型的な問題をこなせることを、目指して下さい。
４で割ると１あまり、６で割ると３あまる２けたの数のうち、最も大きい数を求めなさい。
数を具体的に書き出す
４で割ると１あまる数を考えてみます。
１、５、９、１３、１７、２１、・・・
がそれにあてはまります。
このとき、みなさん注意すべきは、１もあてはまるということです。
というのも、１÷４＝０あまり１ となるからです。
６で割ると３あまる数は
３、９、１５、２１、２７、３３、・・・
となっています。
このときも、３を忘れないで下さいね。
規則性を見い出す
上に書いた数の並びを見ると
１、５、９、１３、１７、２１、２５、・・・
３、９、１５、２１、２７、３３、３９、・・・
となっています。
上と下の数の並びで共通しているのは、９と２１ですよね。
もう少し数の並びを見ていくと
２５、２９、３３、３７、４１、４５、・・・(４で割ると１あまる数)
３３、３９、４５、５１、５７、６３、６９、・・・(６で割ると３あまる数)
という並びが出てきて、上と下でさらに共通するのは３３、４５となっていることが分かります。
さて、(４で割ると１あまる数)と、(６で割ると３あまる数)の中で共通する数は、今のところ
９、２１、３３、４５
であることが分かります。
この数の並びを見て、何か規則性に気づくでしょうか。
これは、最初の数が９で、あとは１２ずつ増えていく数の並び(等差数列)となっています。
つまりこの数の並びは
９、２１、３３、４５、５７、６９、・・・という風に増えていきます。
なるべく公式や解き方を覚えないで解く力を付ける
ここまでのことをまとめると
４で割ると１あまる数、６で割ると３あまる数の中で、どちらにも共通するものは、９に１２を次々に足して得られる数の並び全体である
ということです。
問題文では、そうした２けたの数の中で一番大きい数を求めなさいとあります。
問題集などでは、等差数列の公式も使って解いているものを見かけますが、習いたてのうちは、数の規則性に関する考え方を身につけるためにも、以下のやり方も知っておくと良いです。
① ９＝９＋１２×０
② ２１＝９＋１２×１
③ ３３＝９＋１２×２
④ ４５＝９＋１２×３
⑤ ５７＝９＋１２×４
⑥ ６９＝９＋１２×５
・・・・・・
となって、常に、〇番目の数は、９に１２×(〇−１)を足したものになっています。
こうして作った数のうち、一番大きい２けたの数は、９＋１２×７＝９３ であることが分かります。
倍数と約数の問題の解き方まとめ
改めて、この記事のポイントをまとめると
・問題文を最後まで読み飛ばさずに読む
・Aの倍数ときたら「例えばどんな数があるのか」を気にしながら、数を書き出す
・「割る数」「割られる数」を意識して計算する
・Aの約数はバラバラに書かずに、お互いかけてAになる「対」を順番に書く
・答を出す前にもう一度必ず問題文を振り返る
・自分で規則性を見つける
ということが大事になってきます。
解き方だけではなくて、いろんな問題の解き方に共通する「考え方」の部分に注目できると、問題を解くのも楽になってくるはずです。
１問１問、自分でできるまで練習していって下さいね。