こんにちは。鈴木です。
今回は、数の規則性の中でも、周期算に関する問題を見ていきたいと思います。
周期算で大事なのは、数の並びにおいて、どんな規則性が隠れているのかを自分で見つけることです。
多くの場合、数を順番に並べて、番号とそれに対応する数字との間にある関係性を調べることになります。
ここでは、規則性の見つけ方や、問題ごとの考え方を見ていくことにします。
周期算 何種類かの数字をきまりにしたがって並べる問題
｛１、２、３｝の３種類の数字を、あるきまりにしたがって、下のようにならべました。左から53番目の数字は何ですか？
3、2、1、3、3、2、1、3、3、2、1、3、3、2、1、・・・・・
きまりの見つけ方
そもそも、きまりとは、何のことでしょうか。
上の問題を見ると、３の次は２、２の次は１、１の次は３、３の次は３、３の次は２、・・・
という風に、数字が並んでいます。
見ていくと、３、２、１、３と並んだあとに、また３、２、１、３と、数字が並んでいることが分かります。
この例から分かる通り、きまりとは、数の並び方が決まった上で、その並び方が繰り返されることです。
ですのでまずは、数の並び方とその繰り返しを、見つけることが大事です。
はじめの数から数えて4番目あたりまでの数を見ていくと、数がどんな並び方をしていて、最初に繰り返すのは何番目からなのかが、分かることが多いです。
この問題の場合は、１番目の数は３、４番目の数も３、５番目の数と８番目の数も３であることから、3、2、1、3という数の並びが最初に繰り返されるのは5番目であることが分かります。
数の並びのはじめとおわりに注目する！
上の例でいうと、数の並びは、｛３、２、１、３｝というセットになっていますが、注目すべきは、数の並びのはじめとおわりです。
この数の並びを見ると、３ではじまって、３で終わっています。
｛３、２、１、３｝という１つのセットにおいて、以下の２つを考えることが大事です。
・はじめの３は、もとの数の並びにおいて何番目の数なのか？
・おわりの３は、もとの数の並びにおいて何番目の数なのか？
もう一度、もとの数の並びを見てみましょう。
3、2、1、3、3、2、1、3、3、2、1、3、3、2、・・・
数の並び(セット)｛３、２、１、３｝において、はじめの３は、もとの数の並びにおいては
１番目、５番目、９番目、１３番目、・・・
の数であることが分かります。
おわりの３は、もとの数の並びにおいては
４番目、８番目、１２番目、１６番目・・・
の数であることが分かります。
実はこれらのことが、問題を解く上では大切なカギとなるのです。
いきなり大きな番号を考えない
さて、問題は、数の並びにおいて、53番目の数を求めることでした。
53番目というと、番号が大きくて、何をすれば良いのか分からないという生徒さんも多くいます。
しかし、上に書いた数の並びにおけるはじめの数とおわりの数が、それぞれもとの並びにおいては何番目なのかを考えることで、分かりやすくなります。
｛３、２、１、３｝のセットにおいて、おわりの３は、それぞれ４番目、８番目、１２番目、１６番目、・・・の数でした。
つまり、おわりの３は、４の倍数の番号のときに現れるのです。
いちばん近い番号を考える
ここでは、53にいちばん近い４の倍数を考えてみましょう。
４、８、１２、１６、２０、２４、・・・、４８、５２、・・・
ということで、52がいちばん近いですね。
つまり、52番目の数が３であることは分かります。
ここで出てきた３は、｛３、２、１、３｝のセットにおける、はじめの３か、おわりの３かどちらだったか、確認しておいて下さい。
おわりの３です。
52番目に、おわりの３がきているわけですから、53番目からは、また３、２、１、３、・・・、と続いていくわけです。
つまり、53番目の数は３であることが分かります。
周期算 白マルと黒マルを並べる問題
あるきまりにしたがって、〇と●を下のように100個ならべました。このとき、〇は全部で何個ありますか。
●〇●〇●●●〇●〇●●●〇●〇●●●〇●〇●●●〇●〇●●●〇・・・
並び方の規則性を見つける
こうした問題も、やはりどんな並び方でマルが並んでいるのかを見つけることからはじめます。
数の並びと同じく、４番目か５番目まで見ていくことで、マルの並び方のセットと、その繰り返しが見つかります。
この問題では
●〇●〇●●
という並びが、一つのセットになっています。
並びのセットにおけるマルの数を調べる
問題では、●の数を聞かれているので、規則性(マルの並びのセット)が分かったら、そのセットにおいて、〇の数と●の数はそれぞれいくつなのかを、はじめに把握しておきましょう。
この問題の場合は
●４個、〇２個
というセットになっていますね。
はじめのマルとおわりのマルに注目する
マルを並べる問題も、数を並べる問題と同じく、はじめとおわりに注目することが大事です。
マルのセットにおいて、この問題では●ではじまって、●でおわっていますね。
もとのマルの並びにおいては、１番目の●からはじまって、６番目の●までが、１つ目のセットになっています。
次に、７番目の●からはじまって、１２番目の●までが、２つ目のセットになっています。
もとの並びにおいては何番目かを調べる
ここでもやはり、セットの中にあるはじめの●とおわりの●が、もとのマルの並びにおいては、何番目なのかを考えることになります。
番号を答える問題であっても、「何個か？」を答える問題であっても、いずれにしても、上に書いた考え方は必ず使います。
マルの並びのセットにあるはじめの●は、もとの並びにおいては
１番目、７番目、１３番目、１９番目、・・・
おわりの●は、もとの並びにおいては
６番目、１２番目、１８番目、２４番目、・・・
となっています。
100番目に近い番号を考える
この問題では、マルを100個並べたときのことを考えています。
マルのセットは、●４個、〇２個でなっています。
１つのセットに、●と〇合わせて６個あるので、何セットあれば、100個に近くなるのかを考えます。
１セットで６個、２セットで１２個、３セットで１８個、・・・
と考えていくことで、マルが全て合わせて100個に近いとき、16セットで96個あると考えるのが、分かりやすいのではないでしょうか。
このとき、●は何個あるのか、〇は何個あるのか、答えてみて下さい。
●は４×16＝64個、〇は２×16＝32個
あることが分かります。
96番目は●がきて、そこからまた●〇●〇●●・・・と続くので、100番目は〇であることが分かります。
ということで、〇は全部で、32+2＝34(個)あるのです。
周期算 和を求める問題
｛６、７｝の２種類の数字を、あるきまりにしたがって、下のようにならべました。１番目から３５番目までの数字をすべて加えたときに和を求めなさい。
７、６、６、６、７、６、６、６、７、６、６、６、７、６、６、・・・
まずは規則を見つける
上に書いた数字のならびを見ると、どんな規則があるでしょうか。
７からはじまり、６が３回ならんだあと、また７がきて、その次にまた６が３回続きます。
この「７がきたあとに、６が３回続くという規則」が、ずっと続くと考えられます。
小さい番号のときから考えてみる
問題では、「３５番目まで」とありますが、まずは小さい番号のときを考えてみて下さい。
例えば、１番目の７から４番目の６までを全て足すと、１番目から４番目までの数字の和は
７+６＋６＋６＝２５
となります。
つまり、４番目まで足すと２５になるわけです。
１番目から４番目までが、１つ目の周期でしたので、２つ目の周期(５番目から８番目)を考えてみましょう。
５番目から８番目も、やはり同じ周期ですので、２つ目の周期の数字を全て足すと、その和は２５です。
はじめから４番目までの数字を全て足すと２５、８番目までの数字を全て足すと５０ということになります。
さて、３つ目の周期まで考えると、何となく和に関しても、規則性が見えてきそうです。
３つ目の周期の数字を全て足すと、やはり２５となり、はじめから１２番目までの数字を全て足すと７５になることが分かります。
４番目まで足すと２５
８番目まで足すと５０
１２番目まで足すと７５
・・・
番号が４つずつ増えると、和は２５ずつ増えていますね。
つまり、番号が４の倍数のときは、とても考えやすいのです。
ということは、１６番目までの和は１００、２０番目までの和は１２５、２４番目までの和は１５０、・・・
と考えていくことで、とりあえず４の倍数の番号のうち、３５番に近いときの和が分かれば良いのです。
和の出し方について
少し比例の考え方に似た部分もあります。
番号が４番から８番へとかわるとき、番号は２倍になっていますが、和も２５から５０へと、２倍になっていることが分かります。
４番から１２番へと、番号が３倍になっても話は同じで、和もやはり、２５から７５へと、３倍になっていますね。
こうやって考えると、３５番に近い４の倍数の番号を一つ考えて、その番号が４の何倍になっているのかが、分かれば良いのです。
３６番が、一番良さそうですね。
３６番のときで考えると、３６は４×９ですから、和の方も２５×９＝２２５ となっているのです。
はじめから３６番目までの数字を全て足すと、２２５になっていることが分かりました。
問題では、３５番目まで足したときが問われています。
３６番目の数字が、いくつなのかが分かれば、２２５からその数字を引いて、答えが出せたことになります。
４、８、１２、１６、２０、・・・
これらの番号にあたる数字は、すべて６となっていますので、答は２２５－６＝２１９ になります。
周期算 針金を折り曲げる問題
１本の針金を１５cmごとに折り曲げて、下の図のような形を作ったところ、はしからはしまでの長さが２８５cmになりました。針金の長さは何cmですか。
どんな形が繰り返し現れるのかを考える
上の図形を見て、何やら同じ形の図形が繰り返し出てくるのだなということが、分かると良いですね。
繰り返し現れる(であろう)「同じ図形」が、どうやったら見つかるのかが分かりづらいと感じる人は、まずは問題に載っている図形を、なぞってみることをおすすめします。
なぞっていくと、不思議なもので
「あ、ここでまた、こんな図形を描いたんだな！」
ということが、分かってくるはずです。
私も実は、こうした問題を解くときは、必ず図形を個別に描いて、なぞっていきます。
この問題では、まずは針金を３回折って得られる、こんな形が繰り返し現れることが分かります。
繰り返し現れる図形の長さはいくらか
繰り返し出てくる図形が、どんな形をしているのかが分かったら、その長さを調べてみます。
この図形のはしからはしまでの長さは、３０cmであることが分かります。
ちなみに、さりげなく「はしからはしまで」と書きましたが、これは図に描いてある部分のことを指します。
問題文にも、既に書いてありますが、解く前に、問題文の中にある言葉が、図でいうと「どこの何のこと」を言っているのか？ を把握しておくことは、とても大事です。
これは、どの問題を解くときにも言えることです。
そして、そもそも問題文で聞かれているのは、針金全体の長さです。
１５cmごとに折り曲げているので、３回折り曲げて作った図形については、１５cmの部分は４つできるので、図形一つ分の全体の長さは６０cmとなるのです。
やはり短い場合の長さから考える
図形一つの「はしからはしまで」の長さは、３０cmでした。
図形２つ分では６０cm、図形３つ分では９０cm、図形４つ分では１２０cmとなるのです。
このときも、やはり比例に似た考え方が出てきます。
(図形の個数)×３０＝(個数分の図形のはしからはしまでの長さ)
となっています。
問題文には、２８５cmとあったので、ここでもやはり、２８５cmに近い長さから考えていくことが良いです。
ヒントとなるのは、上の式に出てきた「×３０」という部分です。
図形一つ分の３０cmからはじまって、６０cm、９０cm、１２０cm、・・・
と増えていくので、３０の倍数を考えていくと、良いことがありそうですね。
つまり、２８５に近い３０の倍数を考えることとなります。
２７０か３００ということになりますが、２７０としておきます。
「はしからはしまで」２７０cmであれば、図形は何個ならんでいるのかを考えることになります。
それは、上の式から、２７０÷３０＝９(個)であることが分かります。
余った部分に気をつける！
「繰り返し現れる図形」が、９個でてくることが分かったので、図形一つ分の針金全体の長さは６０cmだから、針金全体では６０×９＝５４０(cm)・・・
としてしまっては、まだ答が合ったことにはなりません。
問題文下の図を見てみると、最後の最後に、余った部分がありますね。
多くの生徒さんが、こうして、余った部分を見過ごしたまま、答えを出したつもりになってしまうこともあるので
「そもそも何を求めなさいと聞かれているのか？」
「自分が今だした答えと、問題文や図に載っている値などが一致しているか？」
といった、この２点について意識して、見直しもしてみて下さい。
ということで、答は５４０＋１５＝５５５(cm)です。
周期算まとめ
周期算といっても、数をならべる問題や白マルと黒マルをならべる問題、図形の問題など、種類はたくさんあります。
問題で何を聞かれているのかに注目してみても、数字の和を聞かれていることもあれば、どの数字がいくつならんでいるのかを聞いてくるものもあります。
しかし、どの問題を見てみても、具体的に「こんなときは、どうなっているのか」を調べて、自分で規則性を見つけることをしていきながら、解く力が求められます。
特に、どの問題にも共通しているのが、小さい番号のときから考えて、何と何の間にどんな規則があって、それを式として表すと、どんなことまで分かるのか？ を考える場面があることです。
多くの場合、まずは番号にともなって、規則的に数字がならべられているので、規則や周期が繰り返し現れる区切りとなる番号を調べるという考え方が大事です。
ぜひ、参考にしてみて下さい。