こんにちは。算数・数学専門家庭教師の鈴木です。
今日は正負の数の加法・減法におけるつまづきポイントについてお伝えし、つまづいたとしても、「どうすれば正解できたのか」「どう考えればミスしないのか」について、書いていきたいと思います。
前回書いた記事で、そもそも「負の数を受入れるために必要なこと」について書きましたが、今回この記事で書くこととも関係があるので、ぜひ前回の記事も復習した上で、こちらも読んでみて下さい。
↓前回の記事「中学１年生で数学を苦手にしないために必要なこと 正負の数におけるつまづきポイントとその対策」はこちらからお読みいただけます。↓
https://sugaku1bann.com/2022/10/15/seihunokazunonigatetaisaku/
正負の数を考えていく上では、「数直線」というものを受け入れることが大切になってきます。
「受け入れる」という書き方をしましたが、もう少し言い方を変えると、数というものを考えるときに、それらを直線と対応させることが「あっても良いじゃないか」と思えることが大事です。
このように思えてくると、正負の数の計算も、理解できてくることは間違いありません。
加法と減法におけるつまづきポイント
小学生の頃から、「足し算・引き算」をやり続けてきたと思いますが、今一度、「足し算・引き算」の考え方を、書いていきますね。
「５+２」というのは、あるモノが最初に５個あったときに、追加で同じモノが２個やってきたときに、「そこにあるモノの個数を全て数えるといくつか」を考えることです。
「５－２」というのは、あるモノが最初に５個あったときに、何らかの理由で２個その場からなくなったときに、「残っているモノの個数を全て数えるといくつか」を考えることです。
こうした状況を、改めて数直線と対応させて考えたとき、「５を表す点から右に２だけずれた点の位置を考えることが加法」「５を表す点から左に２だけずれた点の位置を考えることが減法」だと捉えることができます。
が、しかし、こうした考え方に対して「どうしても納得できない」「そもそも数直線って何？」といった感情が生まれてしまうと、その事が「つまづき」を作ってしまう大きな原因の一つでもあるのです。
つまづきポイント① 「正の数を引くこと」と「負の数を足すこと」
加法・減法におけるつまづきポイントというよりは、中学以降の数学で「計算手法」を学んでいくときに必ず出てくる考え方があります。
それが、「正の数を引くこと」は「負の数を足すこと」と捉えるような考えです。
この捉え方は「式の表し方」「数直線上を動く点」という２つの視点を持って受け入れることが必要です。
先に出てきた「５－２」を例に挙げると、この式は「式の表し方」としては「５＋(－２)」つまり「もともとあった数に負の数を足す」という見せ方で、新たに式を捉えていくことになります。
数直線を使ってこの式の意味を理解しようとすると、最初に点が数直線上の「５の点」にあり、もし正の数を足すのであれば「最初にあった点が右にずれること」という捉え方が大事になります。
この捉え方があった上で、「負の数を足す」というのは「最初にあった点から左にずれること」だという風に考えることができます。
つまり「５+(－２)」というのは、「５の点より２だけ左にずれた点の位置を答えること」となります。
つまづきポイント② 「負の数を引く」という考え方
「負の数を引く」というのは、「正の数を引くことの反対」だと捉えることができます。
「５－(－２)」、「７－(－１)」のように、「マイナスの符号の後にカッコのついた負の数がいるような式」が「負の数を引く式」なのですが、結論から言うと、これらは加法になります。
というのも「正の数を引くことの反対」つまり「数直線上で左にずれることの反対」と考えることができるので、「数直線上では右にずれること」となるのです。
式で書くと「５－(－２)＝５＋(＋２)」、「７－(－１)＝７＋(＋１)」となります。
つまづきポイント③ (負の数)－(負の数)
「負の数－負の数」というものを考えるとき、どうしても数直線を考えることは避けられません。
というより、「数直線というものを受け入れられると、数が理解できる」と言っても言い過ぎではありません。
先ほど「正の数－正の数」「正の数－負の数」がどのようなものになるのかを、数直線上で考えたときに、どちらにも共通の仮定がありました。
それは「最初に点がどこに位置しているのか」を考えることです。
「５＋(－２)」、「５－(－２)」どちらを考える際にも、数直線上、「最初に点が５の上にいる」と仮定していました。
この仮定をそのまま「負の数－負の数」でも受け継ぐと、「最初に点が負の数の上にいて、そこからどちらにどれだけずれるのかを考えること」が、「負の数－負の数」の計算であると考えられます。
つまづきをなくし、考え方を身に付けるための3つのコツ
上に書いたような、「負の数を足すこと」や「負の数を引くこと」というのは、線分図の上で点が移動することと捉えられますが、こうした捉え方を確実に身に付けるためにすることを、書いていきます。
コツ① 例題を習った後に必ず類題を解く
例えばこの記事では、「５－２＝５＋(－２)」といった式で書き直し、それが線分図の上で、「５から左に２ずれること」と解説してきました。
このような問題は、教科書に例題として必ず載っていますが、その例題の下に「同じ考えで解く類題」が載っています。
類題として「６－４」などという式があれば、その式を自分で「６＋(－４)」と書き直してみて、線分図の上で「６からどちらに、どれだけずれるのか」を考えてみて下さい。
類題として「７－(－６)」とあったら、「７から６だけどちらにずれるのか」などと考えてみて下さい。
こうした「考え方をマネする練習」こそが、つまづきをなくし、考え方を確実に身に付けていくために必要なことなのです。
コツ② 分数の計算問題も正解できるようにする
今まで整数の問題を解説してきましたが、分数の問題まで正解できると、加法・減法を更に理解できるようになります。
「(１/２)－(－２/３)」という式が出てきたとしても、考えることは同じです。
「これまで点が移動する」と表現してきましたが、実はもっと細かくいうと「最初にあった点から、長さがどれだけ移動するのか」を考えることが加法・減法なのです。
この考え方を使うと、「(１/２)－(－２/３)」という式は、数直線上で「最初に (１/２) にあった点から、長さ (２/３) だけ、どちらにずれるのか」を考えることになります。
「長さがどれだけ移動するのか」と考えることで、分数の計算も同じようにできるので、「分数の計算が苦手」という人でも、この単元を通して得意になれると良いですね。
コツ③ 中カッコまでついた計算もできるようにする
１－｛２－(６－１０＋３)｝のように、「計算の優先順位を守ること」「必ず途中式を書くこと」を意識すると正解できる問題まで練習しておくと、加法・減法の考え方が更に身に付きます。
この式は「６－１０」の部分から行いますが、ここでも「６から１０だけ左にずれた後に・・・」と考えることで、小カッコの中が計算できて、小カッコの直前に「マイナスの符号」がありますよね。
多くの生徒さんを見てきて、意外にも「負の数の前にあるマイナスの符号を見落とす (または何らかの理由で書き間違う) 」というタイプの間違いが多いことが明らかになっています。
そうした「見落とし」を防ぐためにも、実際に途中式を書いてみて「書き間違っていないか」「見落としていないか」を確かめるために、「書いた式をもう一度見てみる」ということも大切です。
そのような「確かめ方」を身に付けるためにも、「中カッコまで付いた高度な計算問題」までできておくと良いのです。
まとめ
いかがでしたでしょうか。
「中学のある時期から、数学が苦手になった」「計算ミスをよくする」という声をたくさん聴いてきましたが、よくお話を聴くと「加法・減法が身についていない」といったこともよくあります。
特に「計算ミスをよくする」という生徒さんの中には、ここでも書いたような「負の数を引くこと」が具体的に何を意味するのかを、そもそも知らなかった人もいます。
そのような状況になってくると、「計算ミス」という考えだけで済まされる話ではありません。
この記事では「数直線」というものを主なテーマとして、理解の助けになるように記事を書きましたが、他にもエレべーターなどを思い出し「地下に行くのか上の階に行くのか」といったことでも、十分に正負の数を考えることはできます。
「日常の具体例」を思い出し、「どう考えるのか」を例題から学び、そこで得た「考え方」をマネして使うことで「自分で正解を出す」という練習を繰り返すことで、数学はできるようになります。
ぜひとも実践してみて下さいね。