こんにちは。鈴木です。
今日は食塩水に関する問題と、その解き方について書いていきます。
食塩水の問題は、割合の問題と見ることができます。
食塩水全体の重さがもとにする量で、塩の重さがくらべる量、濃さが割合となります。
濃さの出し方から、食塩水を混ぜる問題まで、解くために使う考え方や、見直しの仕方について、以下でお話していきます。
濃さの求め方とその計算
まずは例題を解いて、濃さの求め方を身に付けていくことが大切です。
例題 200gの水に50gの食塩をとかしでできた食塩水の濃さは何％ですか。
濃さの出し方
濃さは、以下の式で求めます。
濃さ＝(食塩の重さ÷食塩水の重さ)×100
上の例題だと、食塩の重さは50g、食塩水の重さは200+50で250gとなります。
濃さの出し方にあてはめると
(50÷250)×100＝0.2×100＝20
となって、答は20％となります。
見直しポイント
上の例題を解く際に気をつけることは、問題文には水の重さと書いてあることです。
ですので、どの問題でもそうですが、問題文を振り返り、全体の重さが書いてあるのか、水の重さが書いてあるのかどちらなのかを、確かめておく必要があります。
ノートに式を書く際にも、計算式だけではなくて
50g・・・食塩の重さ 200g・・・水の重さ 250g・・・全体の重さ
という風に、分かっていることは何かが把握できるような書き方をするのも、間違いを防ぐ手の一つです。
食塩の重さの出し方
今度は濃さと全体の重さが分かっている場合の問題を考えていきます。
例題 6％の食塩水300gにとけている食塩の重さは何gですか。
濃さの求め方を振り返ると
濃さ＝(食塩の重さ÷食塩水の重さ)×100
となるのですが、この問題では、食塩の重さそのものが分かりません。
このタイプの問題を初めて解く方は、まずは上の式に、分かっていることをあてはめるところから始めてみるのも良いです。実際にあてはめると
６＝(食塩の重さ÷300)×100
という式が出てきます。
そうすると、(食塩の重さ÷300)の部分に100をかけて6になったということは、(カッコ)の中身は0.06であれば良いわけです。
つまり 食塩水の重さ÷300＝0.06
となって、食塩の重さは300×0.06＝18 答は18gであることが分かります。
見直しポイント
濃さを求める式を覚えられているかどうか、解きはじめる前に振り返ることが大事です。
食塩の重さと食塩水全体の重さが出てきたときに、頭ではどちらをどちらで割れば良いかは分かっていても、実際に式を書いたときに、逆になっていないかどうかなどは、見直しのポイントとなります。
また、上に書いたように、式に数をあてはめる際には、あてはめた式を書いたあとに、それが合っているかどうかを振り返ることも大事です。
計算が楽になるような式の見方
上の計算では、300×0.06＝18 と、答だけを書いてしまいましたが、こういった計算問題を例に、小数の計算を分数の計算とも結びつける見方を身につけていけると良いですね。
どういうことかというと、0.06＝6/100 なので、式は
300×(6/100)＝3×6＝18 となるのですが、こういった計算を考えていく上で、100などの大きな数で約分する、式の途中で約分をする といった考え方を身につけることができます。
3けた以上の数や分数が出てきたときには、計算して出てきた答を約分するのではなく、計算の途中で約分を行っていく という考え方が大事です。
こういった問題を解くことを通して、身につけていくことも大切です。
水の重さの出し方
食塩の重さと濃さが分かっている上で、食塩水の重さを求める問題も、上の例題と似た解き方で解けます。
例題 24gの食塩を水にとかして8％の濃さの食塩水を作るには、何gの水にとかせばよいですか。
この問題も、濃さを求める式にあてはめることから考えていきます。
濃さ＝(食塩の重さ÷食塩水の重さ)×100
8＝(24÷食塩水の重さ)×100
となるので、(24÷食塩水の重さ)＝0.08 となります。ですので
食塩水の重さ＝24÷0.08＝300
となるのですが、この問題の場合は、これが答ではありません。
見直しポイント
どの問題でも、問題文を振り返ることは、一番の見直しポイントです。
この問題では、食塩水の重さではなく、何gの水にとかせば良いのかを聞かれています。
上の計算で出てきた答は、まさに食塩水全体の重さです。
食塩は24g、食塩水全体の重さは300gなので、必要な水の重さは (300－24) で276gであることが分かります。
こうした例題を解くことで、自分が求めているものが何なのかを振り返る習慣を身につけていくことができます。
答が合っているかどうかの確かめ方
答が276gと出てきたら、この答が合っているかどうかを、実際に確かめる方法があります。
それは、逆に濃さを求めてみることです。
水の重さ276g、食塩の重さ24g 、食塩水全体の重さは300g だったので、問題文にある「濃さ8％」が実際に出てくるかどうかを確かめてみます。
濃さの式にあてはめると
24÷300×100＝0.08×10＝8
となって、答が正しいことが分かります。
このように、問題文に書いてある条件を再現できるかどうか を実際に計算してみるのも、確かめ方の一つです。
食塩水に水を加える
濃さや食塩水の重さを求めることが分かってきたら、水を加えたり蒸発させたりする問題を解いていきます。
例題 16％の食塩水400gに水を何g加えると8％の食塩水ができますか。
こうした問題を解くにあたり
・濃さの式がすぐに答えられること
・濃さや食塩水の重さから食塩の重さを求められること
が予備知識として必要になります。
注目すべきは塩の重さが変わらないこと
食塩水に水を加える問題では、食塩の重さは水を加えた後でも変わらないこと に注目する必要があります。
ですのでまずは、この食塩水に含まれる食塩の重さを出すことが大事です。
食塩の重さ＝400×(16/100)＝64
となって、食塩の重さが分かります。
すると問題は、「食塩の重さが64g、濃さが8％のときの水の重さを求める」
という風に言い換えることができます。
64÷(食塩水の重さ)×100＝8
なので、食塩水の重さは 64÷0.08＝800
となって、食塩水の重さは800g になってくれないと困るのです。
見直しポイント
今出てきたのは、食塩水全体の重さです。
こうした問題も、見直しポイントとして
・問題文に出ていた数は何を表すものだったのか
・濃さを求める式にあてはめるときに、数を入れまちがえていないかどうか
を気にしておくことが必要です。
問題文には、はじめ400gあったと書いてあるので、食塩水に水を加えて800gにするためには
800－400＝400
つまり400g の水を加えることになります。
食塩水の問題全体として、「食塩水の重さ」なのか「水の重さなのか」に目をつけることが、見直しポイントの共通点です。
この問題も、実際に濃さを出してみると
64÷800×100＝8
となって、問題文にある8％が出てきます。
食塩水から水を蒸発させる
水を加える問題に続いて、今度は水を減らす問題です。
例題 5％の食塩水300gから水を何g蒸発させると濃さが6％になりますか。
先に考えた「水を加えるタイプの問題」に共通していることは、濃さと食塩水全体の重さが分かっていること です。
このことからまずは、とけている食塩の重さがすぐに分かります。
食塩の重さは300×(5/100)＝15 15gとけています。
注目すべきは前の問題と同じ
水を蒸発させる問題でも、「水を加える問題」と同じで、食塩の重さは変わりません。
水だけがなくなると考えるのです。
濃さが6％になってくれればいいので、食塩の重さが15gなのであれば、食塩水の重さは
15÷0.06＝250
つまり250gとなってくれればいいのです。
ですので、もともと食塩水が300gあったので、300－250で50g蒸発させれば良いのです。
見直しポイント
こちらの問題も、問題文を振り返ることや、濃さの式にあてはめるときに、まちがいがないかを確かめていくことが大事です。
出てきた数が食塩水の重さなのか、水の重さなのかを、一つ一つ振り返ることが見直しにつながります。
食塩を加える問題
食塩を加える問題は、割合を比と捉えて解くことができます。
例題 16％の食塩水500gに食塩を何g加えると、濃さが25％になりますか。
注目すべきは食塩と食塩水の重さの差
まずは濃さと食塩水の重さが出ているので、食塩の重さはすぐに出しておくことが大事です。
食塩の重さは 500×(16/100)＝80 となって、80gであることが分かります。
加える食塩の重さを〇とおくと、加えたあとの食塩の重さは(80＋〇)、加えたあとの食塩水の重さは(500＋〇) となるのですが、これらの差は、食塩を加える前と変わらず、420gです。
これは、水の重さを表します。
割合を比の値におきかえる
食塩水の濃さが25％になるということを、比の言葉を使って言い換えると、以下のようになります。
食塩の重さと食塩水の重さの比が、25:100＝1:4
つまり、比の問題の慣例にしたがって、食塩の重さを①、食塩水の重さを④とおくと、その差となる③にあたる値が、この問題では水の重さ、つまり420gとなります。
このことから、食塩の重さは420÷3＝140 140gとなるのです。
つまり、食塩は60g加えれば良いことが分かります。
見直しポイント
この問題では特に、割合を比の値に言い換える場面が出てくるので、どの重さが比の値でいうといくつなのかを確かめることが大事です。
また、割合を比に直すときに、例えばこの問題だと25％を(25/100)に直し、約分をした上で1:4という比の値を出す場面がありますが、この計算プロセスが合っているかどうかも、見直しポイントの一つです。
食塩水をこぼす
食塩水をこぼす問題も、解いておくことで公式の使い方や問題の考え方が身についてきます。
例題 18％の食塩水が500gあります。このうちの一部をこぼしてしまったので、代わりにこぼした食塩水と同じ重さの水を加えたところ濃さが10.8%になりました。こぼした食塩水の重さは何gですか。
まずは食塩の重さを出す
問題文では、食塩水全体の重さと濃さが出ているので、食塩の重さがすぐにでます。
はじめにあった食塩水の中にふくまれる食塩の重さは、500×(18/100)＝90 90gであることが分かります。
食塩水の重さは変わらない
食塩水をこぼしたあと、こぼした食塩水と同じ重さの水を加えたので、水を加えたあとの食塩水の重さは、はじめにあった食塩水の重さと変わりません。
つまり、問題文を言いかえると、10.8%の食塩水が500gできたことになります。
このことから、水を加えたあとの食塩水の中にふくまれる食塩の重さは
500×(10.8/100)＝54 54gになることが分かります。
こぼした食塩水の濃さも変わらない
さて、今まで何を求めてきたかというと、「もともとあった食塩水の中にふくまれる食塩の重さ(90g)」と、「こぼしたあとの食塩水の中にふくまれる食塩の重さ (54g) 」です。
つまり、こぼす前とこぼしたあとでは、食塩の重さは36g 減っていることになるのですが、このことは、こぼした食塩水の中には、36gの食塩がふくまれていたことをあらわします。
こぼした食塩水の濃さは、はじめにあった食塩水の濃さ (18%) と変わらないのでこぼした食塩水の重さは
36÷(18/100)＝200 200g
となります。
ちなみにですが、「水を加える問題」、「水を蒸発させる問題」、「食塩水をこぼす問題」は全て、解くプロセスにおいて、「変わらない量に注目すること」が共通しています。
そのことについて、動画でも解説しましたので、ぜひご覧下さい。
見直しポイント
こうした問題であっても、見直しをかけるポイントは他の問題とほぼ同じです。
「こぼす前の食塩水にふくまれる食塩の重さ」と「こぼしたあとの食塩水にふくまれる食塩の重さ」を求める場面があることから、「求めているものは、いつの時点での何の量なのか」を振り返ることが、一番の見直しポイントです。
計算が合っているかどうか、公式をまちがった形で使っていないかどうかを確かめることも大切ですが、問題文を常に振り返り、上に書いたことを確かめていって下さい。
また、この問題では実際に答が200g と出たので、「18％の食塩水200g にふくまれる食塩の重さ」を計算してみて下さい。
すると、もともとあった食塩水にふくまれる食塩の重さからその重さを引いたときに、食塩は何g 残っているのかが分かります。
残った食塩の重さから濃さを計算して、問題文にある通りの濃さが出てくるのかどうかを確かめることも、検算の一つです。
面積図を使うタイプの問題
食塩水の問題にも、以下の例題のように、面積図を使って考えるものがあります。
例題 ＡとＢの2つの食塩水があり、Ａの食塩水の濃さは9％、Ｂの食塩水の濃さは6％です。ＡとＢの2つの食塩水をすべてまぜて、よくかきまぜると、7.2%の食塩水が300g できました。Ａの食塩水は、はじめ何g ありましたか。
Ａの食塩水に関する面積図
まず、面積図を描くと言ったものの、「何についての面積図を描くのか？」を明確にしておく必要があります。
面積図というのは、あとでも述べますが、「かけ算で表される量」を面積に例えることで、式を立てやすくするための道具です。
この問題では、「食塩水全体×(濃さ÷100)＝食塩の量」という関係を、面積に例える必要が出てきます。
上の図で、たての長さは「濃さ÷100」、横の長さは「食塩水全体の重さ」を表しています。
上の面積図は、問題文でいうところの、「Aの食塩水の濃さは9％」を表していますが、全体の重さが〇になっているのは、「Aを具体的に何g混ぜたか分からない」からです。
問題文には直接書いていないものの、面積図を使うレベルの問題ともなると、問題文の行間を読むことが大事になってくるので、問題演習を繰り返していく中で「行間の読み方」を身につけていけると良いですね。
Ｂの食塩水に関する面積図
Bに関する面積図も、Aのそれと全く同じ考え方で描いていきます。
２つの面積図をくっつける
AとBの面積図が描けたら、二つの面積図をくっつけます。
二つの面積図をくっつけると言いましたが、具体的には、お互いの長方形の一辺を共有させた図を描くということです。
なぜこうしたことをするのかというと、問題文にある「AとBの２つの食塩水をすべてまぜて」という文を、図として再現するためです。
面積図において、長方形の横の長さを見ると、「 (Aの横の長さ) + (Bの横の長さ) 」とは、「A全体とB全体を足したときの重さ」を表しています。
そして、大きい長方形と小さい長方形の面積の和は何を表しているかというと、「まぜてできた食塩水の中に含まれる食塩の重さ」を表しています。
できた食塩水に関する面積図
Aの食塩水とBの食塩水を混ぜて、300gの食塩水ができたというのは、上の図では「〇+□＝300」となっているところで表されています。
その食塩水の濃さは7.2%となっているので、上の面積図ではたての長さを0.072とすることで、「300gで7.2%の食塩水に含まれる食塩の重さ」を表すことができます。
「とび出した部分」＝「足りないところ」
そもそも面積図において、長方形の面積は「食塩水の中に含まれる食塩の重さ」を表しています。
このとき大事なことは何かというと、上の面積図で、横300、たて0.072の長方形の面積と、「横〇たて0.09の長方形と、横□たて0.06の長方形の面積の和」は等しいということです。
もっと具体的に、問題を解いていく上で大切になってくるのは、横300、たて0.072の長方形からとび出している部分 (横〇たて0.018の長方形) の面積と、横300、たて0.072の長方形に比べて、高さが足りない部分 (横□、たて0.012の長方形) の面積は等しいというポイントです。
式で書くと「〇×0.018＝□×0.012」ということになりますが、ここから分かることは、「〇：□＝0.012：0.018＝12：18＝2：3」となることです。
つまり、比の値でいうと「〇+□＝5」となり、比の値でいう5が300に等しいので、〇＝120、□＝180となるわけです。
比の考え方を復習したい方は、こちらの記事もお読み下さい。
面積図を使う問題はどんな問題？
そもそも面積図を使う問題は、どんな問題なのかといった疑問がうかびます。
上に書いた問題の類似問題では、解説にはいきなり面積図が載っていたり、あるいは式のみかかれていて、あとから面積図を使うことが分かる場合も多いです。
面積図を使うのか、そうでないのかを見分けるために、ちがう濃さの食塩水Ａ、Ｂを、それぞれどれだけまぜるのかを問う問題かどうかを見るというのも、一つの方法としてはあります。
面積図を使うことがどこで分かる？
食塩水の問題に限らず、問題文を読んで、面積図を使うかどうかを見抜くためには、「２つの条件」に注目することが大切です。
面積図は「つるかめ算や平均」、「速さの問題」などでも出てきますが、これらの分野の問題と、食塩水の問題で共通するのが、かけ算で求められる量を扱う問題 であるということです。
かけ算で求められる量を「長方形の 面積」(たて×よこ) に例えて計算できるのが、面積図の良いところです。
ですので、面積図を使うことが分かるための一つ目の条件は、「問題文において、かけ算で求められる量」が扱われていることです。
２つ目の条件は、「お互いに異なる量を合わせていくつになる」といった表現や、それと同じととらえられる表現が、問題文の中にあることです。
上に出てきた例題も見てみると、「ＡとＢをよくかきまぜて、300gの食塩水ができた」とありますよね。
しかも、問題文に直接的には書いていないものの、「ＡとＢを同じだけ混ぜた」などの条件がないので、「混ぜるときに使ったＡとＢの量は違う」ということが分かります。
しかし、そうしたことが「分かる」というのは、あくまでも問題の出し方や解き方を理解している「大人の感覚」であることも多いです。
ですので、お子さんのご様子を見て、そういった問題文の行間を「読めていないのではないか？」と思われた場合は、この問題を例題として「問題文の読み方を学ぶ」という視点も大切です。
面積図が描けたら見るべきポイント
面積図が描けたら、上の食塩水の例題でも出てきましたが、「とび出している部分と足りない部分」に注目して下さい。
改めて図を載せますが、下図の黒い部分が「とび出している部分」で、青い部分が「足りない部分」です。
面積図で大切なのは、高さが異なる２つの長方形を合わせて描いたときに、「それらの長方形の面積の和と等しい面積」を持つ別の長方形を描くことです。
そうした「別の長方形」と比べて、もともと描いていた高さが違う２つの長方形を均すという意味で、「とび出している部分」と「足りない部分」を埋め合わせる場面が出てきます。
その埋め合わせを式として書くことができると、問題を解くことができます。
見直しポイント
まずは問題文の条件を振り返り、「自分が思っていること」と「問題文に書いてあること」が一致しているかどうかを確かめることが大事です。
具体的には、この問題文には「ＡとＢをよくかきまぜて」とありますが、先ほども述べたように、問題を解くときにお子さんが「ＡとＢは違う量だ」と考えることができているかどうかがポイントです。
もしお子さんが思い込みで、「ＡとＢは同じ量」などと考えてしまっていたとしたら、それは問題を解く際に、「自分(お子さん)が思っていること」と「問題に書いてあること」が違うことになります。
次に見直すべきポイントは、面積図を描くときに、「自分が描いた面積図が、問題文に書いてあることを正しく表しているかどうか」という点です。
面積図を描くときに、長方形の横の長さが何を表していて、縦の長さが何を表すのかを振り返り、結果として面積は、「何の量を表しているのか」を振り返ってみて、問題文と一致しているかを確かめて下さい。
次に、面積図として描き表してあることを、計算式に書き換えたときに、その書き換えが正しいかどうかを確かめる必要があります。
注意してみるポイントは、式として書いたときに、「何と何がイコールの記号でつながれているのかという点です。
計算式とは「文字や図を数と記号で書き換えたもの」である以上、口頭では「この量とこれが等しい」と分かっていても、果たして本当にそれが、式で正しく表されているかどうかを、目で見て確かめる場面が必要です。
こうした見直し・確かめを経て、式の計算行い、計算ミスが起きていないかどうかを振り返ることになります。
まとめ
食塩水の問題は、割合の問題のカテゴリーに含まれますが、問題によっては比の問題や、面積図を使う「つるかめ算」の問題のカテゴリーに含まれます。
もしお子さんが、食塩水の問題が分からなくなってきたというご様子があれば、他分野の問題との関係性に、気づきにくくなってきていることがあるかもしれません。
食塩水の問題にお悩みの方は、まずはこの記事も参考にしていただき、「例題から考え方や確かめ方」を学ぶことができるのも良いと思います。
また、マスコンサルティングでは、随時オンラインでも対面でも学習相談を行っております。
ご興味がある方は、こちらもご覧下さい。
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