こんにちは。数学学習コンサルタントの鈴木です。
「比の問題を得意にしたい！」
今回は、そんな気持ちに応えられる記事を、書いていきたいと思います。
比が苦手という方は、こちらの記事もご参考にしていただけると幸いです。
https://sugaku1bann.com/2022/03/07/higanigateninaruriyuutotaisaku/
・比の単元から苦手意識が出てきた
・問題の解説を読んでもよく分からない
・比ってそもそも何のことなのかが分かりづらい
・比の基本問題自体が難しいと感じる
・どんな問題を練習すれば良いのか知りたい
比や割合の問題は、解き方が分かっただけでは、比や割合の概念を正しく理解したとは言えないのです。
ここからは、比の基本例題を通して、比とはそもそも何なのかを理解できることを目的として、問題の解説を行っていきますね。
人数に関する比の問題
ほとんどどの問題集にも、人数の比に関する問題が載っています。
中学入試で問われる比の問題の考え方を理解するのに、適した題材ですので、比が苦手という方は、まずは人数に関する問題から解いてみて下さい。
例題．１ ５年生の男子と女子の人数の比は５：４で、男子は４５人います。５年生全体の人数を求めなさい。
比の表し方から「何人グループが何組なのか」を考える
男子は４５人いるわけですが、これは比において５を意味します。
つまり、男子何人か集まってできた組が５組であることを意味します。
５組全員の人数が、４５人であるというわけですので、次に考えることは、１組何人集まっているのかということです。
１組何人なのかを考える
１組分の人数を〇とすると、どんな式が立つのかお分かりでしょうか。
〇×５＝４５となりますよね。
つまり、１組分の人数は
〇＝４５÷５＝９(人)
となるわけです。
９人グループが４組分で、今度は何が求められるでしょうか。
４組分の人数は、女子の人数にあたります。
つまり、女子は９×４＝３６(人)であることが分かります。
何を求める問題だったのか確認を！
ここで、女子３６人とやってしまっては、不正解になってしまいます。
一つ一つ何かを求める度に
・今自分が出した答えは何か？
・そもそも問題文では、何を求めなさいと書いてあるのか？
を振り返るクセをつけて下さい。
この問題では、５年生全体の人数を聞いています。
というわけで、４５＋３６＝８１(人)が正解となります。
金額に関する比の問題
人数に関する問題と、ほとんど同じ考え方で解ける問題で、金額に関する問題があります。
比の基本的な考え方である、「１にあたる量を求める」ことを身につけるためにも、こんな例題を解いておくと良いですね。
例題．２ お母さんからもらった１２００円を、兄と弟で１３：１１になるようにわけます。弟は何円もらえるでしょうか。
何円入っているお財布がいくつ集まって１２００円か？
人数の問題では、「何人グループが何組あるのか？」を考えました。
今度この問題では、「お金がいくら入ったお財布が、いくつ集まれば全体で１２００円になるのか？」を考えます。
兄と弟で、１２００円を１３：１１に分けるということは、同じ金額が入るお財布を、兄は１３個、弟は１１個持つことになるということです。
そして、お財布の中身を全部集めたら、１２００円になっています。
お財布一つ分の金額を求める
お財布は、兄と弟の分全部で２４個あることになります。
お財布一つ分の金額を求めるためには、その金額を□とでも置いて
□×２４＝１２００
という式を作り
□＝１２００÷２４＝５０(円)
と求めれば良いのです。
誰の金額を求めるのか確認する
お財布一つ分は、５０円であることが分かりました。(５０円しか入っていないお財布とか何やねん、とかは今は思わないで下さいね）
どんな問題でも、「何を求めるのか？」を必ず振り返ってみて下さい。
この問題では、弟の金額を求めます。
弟は、お財布１１個分の金額をもらえますので
５０×１１＝５５０(円)
もらえるわけです。
２つの量が等しいことから比を求める問題
次の問題は、逆比という考え方に関する問題です。
まずは、こんな問題を見てみます。
例題．３ Aさんの身長の３倍とBさんの身長の４倍が等しいとき、AさんとBさんの身長の比を求めなさい。
具体的な数値で考えてみる
Aさんの身長を、１６０ｃｍとして考えてみましょう。
すると、問題文にはAさんの身長の３倍とありますので、まずは１６０×３＝４８０という値が出てきます。
さて、この４８０という値と、Bさんの身長の４倍が等しいわけですので、Bさんの身長を□とおいたとき
□×４＝４８０
という式が出てきます。
上の式から、□＝１２０と出てきますよね。
というわけで、１６０：１２０＝１６：１２＝４：３
となりそうです。
もう一つ具体例を考えてみる
上の例では、Aさんの身長を１６０ｃｍとして考えてみた結果、Aさんの身長とBさんの身長の比が４：３になったというだけで、Aさんの身長がいかなる場合でも、身長の比が４：３になったわけではないのです。
そこで、もう少し具体的な数で考えてみてから、いかなる場合でも身長の比は４：３になることを言っていきます。
Aさんの身長を、１６８ｃｍとしてみます。
１６８×３＝５０４
ですので、Bさんの身長を〇とすると
〇×４＝５０４
となって
〇＝１２６(cm)
となります。
AさんとBさんの身長の比は
１６８：１２６＝８４：６３＝１２：９＝４：３
となって、やはり４：３になるわけです。
全体を(テープ１本分)とする考え方
上の例を一般的に考えてみます。
Aさんの身長をA(cm)、Bさんの身長をB(cm)とします。
A×３＝B×４
という式が出てきますよね。
上の例では、この式が４８０や、５０４という値になったのですが、比の問題においては、この具体的な数の値を、テープ１本分として考えます。
つまり
A×３＝B×４＝(テープ１本分)
と考えます。
すると、上の式からは
A＝(テープ１/３本分)
B＝(テープ１/４本分)
となることが分かります。
このことから、A：B＝(１/３)：(１/４)＝４：３
となるのです。
まとめ
比の考え方においては、これまで見てきたように、何かがいくつか集まったものを一つと考えることがポイントです。
そうした意味では、ここで見てきた人数に関する問題や、料金などの問題は、１組あたり何人いるのか？ １人あたりいくらもらえるのか？ を考える場面が出てきますので、良い具体例となっています。
比や割合は、とにかく、一方が他方の何倍になっているのかを考えることと、全く同じことです。
１組３人の男子グループが２組、１組３人の女子グループが３組あるとすれば、人数の比はすぐに２：３と分かりますが、これは女子の人数が男子の人数の１.５倍になっていることと同じです。
比を求めることは、こうした具体例からも分かる通り何かがいくつか集まったものが、一方ではいくつあって、もう一方ではいくつあるのか？ を考えることなのです。
問題の解き方だけではなくて、問題を解くことで、役に立つ考え方を身につけることができると良いですね。