こんにちは。
算数・数学専門家庭教師の鈴木です。
今回は、青山学院中等部の2026年度入試問題の中から、「相似な図形の面積比」に関する問題を解説します。
この分野は中学受験でも頻出ですが、
・比は分かるのに面積でミスする
・相似を見つけられない
・図を見ても何をすればいいか分からない
という子が非常に多いです。
しかし、実はこのタイプの問題には“決まった解き方のステップ”があります。
この記事では、実際の手書きノートをもとに、その流れをわかりやすく解説していきます。
問題
問題は何かというと、正方形を４つ並べたときに、以下の図のように直線を引いたとき、いくつかの相似な三角形ができるのですが、そのときにできた「さまざまな形の四角形の面積比」を求めるものです。
砂時計とピラミッドに注目する
「砂時計」と「ピラミッド」をご存じでしょうか。
「砂時計」とは、上の図の中にも出てきているように、「相似な三角形がお互いに逆向きに位置している状態」をいいます。
「ピラミッド」とは逆に、相似な三角形がどちらも「同じ方向」を向いた状態で「小さい三角形が大きい三角形の中に入っている状態」をいいます。
相似の問題ではまず間違いなく、これらの関係に注目することになります。
上の図を見ながら、実際に解いてみてほしいのですが、赤色の「砂時計」、青色の「ピラミッド」に注目して、まずはそれらの三角形の「対応する辺の比」を考えてみましょう。
「対応する辺の比」と書きましたが、これが「相似比」と呼ばれるもので、意外と言葉の意味を知らない子もたくさんいます。
ですので、この際に覚えるようにしておくのも良いかと思います。
中学受験ではおなじみ「比はそろえる」
上の図で正方形の辺の長さは、比を使って「③」、「4⃣」とおくことができました。
これは「同じ長さでも、比としての表し方が違うこと」を意味します。
ここで、そのことについて少し解説すると、例えば「１㎝＝②」に対して「１㎝＝5⃣」という関係を考えてみます。
これはそれぞれ「１㎝の中に、0.5㎝が２個」「１㎝の中に0.2㎝が５個」入っているという風に考えられます。
これだと表し方がバラバラなので、どちらの表し方においても「１㎝の中に同じものが何個か入っていること」を考えたいというのが、比をそろえる動機です。
すると「0.5㎝をさらに５つに分けて0.1㎝」という風に考えると、５つに分けたものがもう１つあるので「0.1×５×２」＝１㎝となります。
同じ考えで「0.2㎝をさらに２つに分けて0.1㎝」とすると、２つに分けたものが５個あるので「0.1×２×５＝１㎝」となって、どちらにおいても「１㎝の中に0.1㎝が10個ある」と考えられます。
このようなことから、②＝5⃣＝10などとおくことができます。
こうしたことから、以下のような解答がでてきます。
面積比の基本は「高さが同じなら面積比＝底辺の長さの比」
面積比については「相似比を２回かけたものになる」など、「どのような条件でそれが言えるのか」を知らない限り、間違えやすいのが落とし穴です。
この問題は青山学院中等部の問題ということもあり、そうした難しい知識も使うのかとも思いましたが、そのようなこともなく、タイトルにあるように、まずは辺の比を考えるだけで十分です。
まとめ この問題を理解するための勉強法
この問題は「砂時計」「ピラミッド」という、２つの「相似な図形のよくある問題」の類題です。
しかし、求めるものが「よく分からない四角形の面積比」ということもあり、相似な図形が関係していそうなことは分かっても、どこからどう考えるのか分からないというお子さんもいるかと思います。
そのようなお子さんは、まずは「予習シリーズ」「sapixのプリント」等に載っている「基本問題」、「練習問題」「☆２つレベルの問題」「基礎トレ」「デイリーサピックス」等に載っている問題を、ヒントなしでできるかどうかを確かめましょう。
この他、「面積比と底辺の比」に関することや、「比をそろえること」など、相似な図形以外にも他の単元において大事な考え方を学ぶ機会も多いので、まずは過去問だけではなく「各単元のつながり」も意識して、問題演習をしてみて下さい。
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