こんにちは。プロ家庭教師の鈴木です。
今回は、青山学院中等部2026年度の入試問題から、「逆比の考え方」でできる良問を解説します。
問題がこちらです。
水そうに水を入れます。バケツAで水を入れると25杯はい 目の途と 中でいっぱいになり，バケツに7Ｌ 残ります。バケツBで水を入れると31杯目の途中でいっぱいになりバケツに5L残ります。バケツAとバケツBの容積の差は2Lです。水そうの容積は▢Lです。
問題の整理
バケツAだと、25杯目の途中で満水になり、Ａには7L残ります。
バケツBだと、31杯目の途中で満水になり、Ｂには5L残ります。
そして、AとBの容積の差は2Lとあります。
ステップ①：途中まで入れた量を考える
ここが最重要ポイントです。
Aを使うと、25杯目は全部入らず「7L残った」とありますので、これは言い換えると、24杯分は完全に入っているということになります。
同じく、Bについては、31杯目は全部入らず「5L残った」とありますので、30杯分は完全に入っていることになります。
ステップ②：「最後の１杯」に注目する
それぞれの最後の1杯について考えると「Aの1杯のうち、7L余った」「Bの1杯のうち → 5L余った」とあり、さらに、「AとBの容量の差は2L」ということから何が言えるかお分かりでしょうか？
・「７Ｌ+（Ａで入れた最後の１杯）」－「５Ｌ+（Ｂで入れた最後の１杯）」＝２Ｌ
ということなので、（Ａで入れた最後の１杯）＝（Ｂで入れた最後の１杯）
となり、「Ａで24杯分入れた量」と「Bで30杯分入れた量」は同じ量になるということが分かります。
ステップ③：逆比による式を立てる
バケツAの容量を a（L）、バケツBの容量を b（L）とすると
これを簡単にすると：
となることから「a : b = 5 : 4」と分かります。
ステップ④：「差は2L」だったことを思い出す
比が「a : b = 5 : 4」なので、差の「1」にあたる量に注目すると、それが2Lだから「1あたり = 2L」となります
よって「a = 5 × 2 = 10L」「b = 4 × 2 = 8L」となります。
ステップ⑤：水そうの容積を求める
水そうの容量は、Aで考えると「24杯+（最後の1杯のうち入った分）」です。
最後の1杯は7L残ったので「Ａによって最後に入った量」は、10 − 7 = 3Lです。
したがって、24×10+3=240+3=243
答は243Ｌとなります。
このタイプの問題を解けるようにするための勉強法
「このタイプの問題ができない」ということであれば、原因は「どこに注目すればいいか分かっていない」ことが最大の原因です。
逆に言えば、見るべきポイントさえ分かれば、解けるようになります。
「途中で同じ量になる問題」には必ず「比」が隠れている
まず注目するべきことは、「何杯完全に入ったか」「最後の1杯で何が起きたか」です。
今回の問題であれば、
・A：24杯は完全に入っている
・B：30杯は完全に入っている
の２つを書き出せるかどうかで、正解率は大きく変わります。
式は「意味が分かる形」で立てる
式を立てるときは、「なぜその式になるのか説明できるか」を必ず意識してください。
ただ計算として「25×〇− 31×▢= 2」と置いても解けますが、これだとどうしても「たまたまできた」ということになる可能性もあります。
「同じ量だから 24x = 30y」などと考えられる方が、他の問題を解く力も身につきます。
まとめ
このタイプの問題を攻略するポイントは次の3つです。
・完全に入った回数を分けて考える
・最後の1杯の「残り」に注目する
・同じ量を作って式にする
この3つを意識して問題演習を積めば、この問題の類題も得点源になります。
さらに「何も見ないで同じ考え方を再現できるか」までやり切ることが、合格への最短ルートです。