「公式を覚えられません…」
という相談をよくいただきます。
「多角形の対角線の本数って、公式を覚えないと解けませんか？」
これは保護者の方から本当によくいただく質問です。
学校や塾では「対角線の本数＝（辺の数）×（辺の数－3）÷2」という公式を教わることが多いですが、
・なぜその式になるのか分からない
・テストになると公式を忘れてしまう
・公式を覚えても応用問題では使えない
というお子さんは少なくありません。
実は、私の指導では最初から公式を覚えることはおすすめしていません。
まずは自分で規則性を見つける経験を大切にしています。
その結果、初めて見る多角形でも自分の力で対角線の本数を求められるようになったお子さんもたくさんいます。
今回は、その学習方法をご紹介します。
公式よりも「規則性」を見つけることが大切
算数では、「公式を覚える」ことよりも、「どうしてそうなるのかを考える」ことの方が何倍も大切です。
対角線の問題も同じです。
いきなり公式を暗記すると、
・すぐ忘れる
・数字を少し変えられると分からない
・応用問題に弱い
という状態になりやすくなります。
一方で規則性を理解すると、公式を忘れてしまっても、自分で作り直すことができます。
これは受験でも非常に強い力になります。
まずは四角形・五角形・六角形を書いてみる
私の授業では、まず実際に図を書いてもらいます。
四角形
四角形には対角線が2本あります。
4角形 → 2本
五角形
五角形では対角線は5本です。
5角形 → 5本
六角形
六角形では対角線は9本になります。
6角形 → 9本
ここまで表にすると、
| 多角形 | 対角線 |
|---|---|
| 四角形 | 2本 |
| 五角形 | 5本 |
| 六角形 | 9本 |
となります。
増え方を見てみよう
ここで次のように考えます。
| 多角形 | 対角線 | 増えた本数 |
| 四角形 | 2 | |
| 五角形 | 5 | +3 |
| 六角形 | 9 | +4 |
すると、「3本増えた」「4本増えた」という規則が見えてきます。
すると、七角形では「さらに5本増える」と予想できます。
つまり「9＋5＝14本」になります。
実際、七角形の対角線は14本です。
八角形はどうなる？
同じように考えると「七角形 →14本」「八角形 →さらに6本増え、「14＋6＝20本」となります。
このように、「前の図形からどれだけ増えるのか」を考えるだけで、公式を覚えていなくても答えを求められるようになります。
なぜ毎回1本ずつ多く増えるの？
ここが一番大切なポイントです。
例えば六角形から七角形になるとき、新しく頂点が1つ増えます。
その新しい頂点からは、隣同士の頂点には辺しか引けません。
また、自分自身にも線は引けません。
それ以外の頂点とはすべて対角線になります。
つまり、六角形から七角形になると「新しい対角線が5本増える」ことになります。
さらに、七角形から八角形では6本増えます。
八角形から九角形では7本増えます。
だから、「3、4、5、6、7……」という規則になっていくのです。
実際に生徒ができるようになった例
以前担当した生徒は、「今まで公式を何度教わっても覚えられない」とのご相談がありました。
テストになると、「÷2だったかな？」「−2だったかな？」と毎回混乱してしまっていたのです。
そこで公式を一度忘れてもらい、四角形・五角形・六角形を実際に書いてもらいました。
すると、「3本増えてる！」「次は4本！」と自分で規則を見つけることができました。
その後、「九角形は？」という初めて見る問題でも、増え方を利用して正しく答えることができました。
公式を覚えたからではありません。
規則を理解したからできたのです。
もちろん最後は公式につながります
規則性を理解すると、最後には公式も自然に理解できます。
増え方を並べると、「3＋4＋5＋…」という数の並びになっています。
この規則を整理すると、少し難しい知識も使いますが、最終的に「対角線の本数＝（辺の数）×（辺の数−3）÷2」という公式になります。
つまり、公式は最初に覚えるものではなく、最後にまとめるものなのです。
公式を覚えることよりも「作れること」が大切
算数が得意な子には共通点があります。
それは、公式を暗記していることではありません。
「もし忘れても、自分で作り直せる」という力を持っています。
この力がある子は、中学受験でも高校数学でも伸び続けます。
逆に暗記だけでは、少し問題が変わるだけで解けなくなってしまいます。
よくある質問（FAQ）
Q1. 中学受験でも公式を覚えなくて大丈夫ですか？
A1.最終的には公式も知っておくと便利です。ただし、最初から暗記するのではなく、規則性を理解したうえで公式を確認する方が忘れにくく、応用問題にも対応しやすくなります。
Q2. 規則性を見つけるのが苦手な子はどうすればいいですか？
A2.まずは実際に図を書いて、四角形・五角形・六角形の対角線を数えてみましょう。数字だけを見るよりも、図と一緒に考えることで規則性に気づきやすくなります。
Q3. 公式を忘れてしまったらどうすればいいですか？
A3.慌てて思い出そうとするのではなく、四角形や五角形から順番に考え直してみましょう。規則性が分かっていれば、公式が思い出せなくても答えにたどり着けます。
まとめ
多角形の対角線の本数は、最初から公式を暗記する必要はありません。
まずは、「四角形、五角形、六角形」を書いてみて、「何本増えているのか」という規則性に気づくことが大切です。
規則性を理解できれば、初めて見る多角形でも自分の力で答えを求められるようになります。
公式は、その理解を整理するための「最後のまとめ」です。
算数では、「覚える」よりも「考える」ことが、長く使える本当の力につながります。
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