中学受験の算数「速さと比」の考え方｜何が一定かを見つけることが大切
鈴 木稔中学受験の算数で「速さと比」の問題になると、解けなくなるお子さんがいます。
速さ・道のり・時間の公式は覚えている。基本的な計算問題も解ける。
それなのに、比を使った文章題になると、どのように式を立てればよいのか分からなくなってしまうのです。
算数専門の家庭教師として指導する中で、私が特に気になるのは、「道のり・速さ・時間のうち、何が一定なのかを読み取れていない」というつまずきです。
速さと比では、道のりが一定なのか、時間が一定なのか、速さが一定なのかによって、使う比の関係が変わります。
そのため、公式や逆比の使い方を覚えるだけでは、条件の異なる問題に対応できないことがあります。
この記事では、中学受験の算数で重要な「速さと比」の基本を整理しながら、何が一定なのかを見つける方法、文章題や旅人算への応用、家庭学習での確認方法を解説します。
「速さと比」では、何が一定なのかを確認することが大切
速さと比の問題では、何が一定なのかによって、速さ・道のり・時間の比の関係が変わるからです。
中学受験では、速さの公式を使って答えを求めるだけでなく、2人の速さを比較したり、移動にかかる時間を比で表したりする問題が出題されます。
このとき、最初から数字を計算しようとするのではなく、問題文の条件を整理することが大切です。
速さの公式を覚えていても問題が解けないのはなぜ？
速さの公式を覚えていても、問題文のどの数量に注目すればよいのか分からなければ、比を正しく使うことはできません。
例えば、次のような問題を考えてみましょう。
AさんとBさんの速さの比は2：3です。2人が同じ道のりを進むとき、かかる時間の比を求めなさい。
この問題では、速さの比が2：3だからといって、時間の比も2：3になるわけではありません。
同じ道のりを進むのであれば、速い人ほど短い時間で到着します。
したがって、時間の比は3：2になります。
ところが、問題文の「同じ道のり」という条件に注目できないと、速さの比をそのまま時間の比にしてしまうことがあります。
このような間違いは、必ずしも計算力の不足によるものではありません。
問題文の条件と、速さ・道のり・時間の関係が結びついていないことが原因の場合があります。
道のり・速さ・時間のうち、何が一定かによって何が変わる？
何が一定なのかによって、残りの2つの数量が比例するのか、反比例するのかが変わります。
基本となる関係は、次の3つです。
| 一定の数量 | 比の関係 |
|---|---|
| 道のりが一定 | 速さの比と時間の比は逆比になる |
| 時間が一定 | 速さの比と道のりの比は等しくなる |
| 速さが一定 | 時間の比と道のりの比は等しくなる |
例えば、速さの比が2：3であっても、何を求めるのかによって答えは変わります。
同じ道のりを進む場合、時間の比は3：2です。
一方、同じ時間だけ進む場合、道のりの比は2：3になります。
つまり、速さの比が分かっただけでは、ほかの数量の比を決められないのです。
まずは、この違いを理解することから始めましょう。
速さと比の基本は？道のり・速さ・時間の関係を整理しよう
速さと比を理解するためには、速さ・道のり・時間の3つの数量が、どのような関係になっているのかを確認する必要があります。
比を使った応用問題に進む前に、基本的な公式と数量の意味を整理しておきましょう。
速さ・道のり・時間の3つの公式はどう使う？
速さの計算では、「道のり＝速さ×時間」が基本となります。
この式から、次の3つの公式が得られます。
- 道のり＝速さ×時間
- 速さ＝道のり÷時間
- 時間＝道のり÷速さ
例えば、時速4kmで3時間進むと、道のりは次のようになります。
4×3＝12（km）
また、12kmの道のりを時速4kmで進む場合、かかる時間は、
12÷4＝3（時間）
です。
ここで大切なのは、公式を覚えることだけではありません。
「速さが大きくなると、同じ時間に進む道のりはどうなるのか」
「道のりが同じなら、速さが大きくなると時間はどうなるのか」
といった数量の関係を考えることが、速さと比の理解につながります。
速さの単位が違うときはどうそろえる？
速さの単位が異なる場合は、比較や計算をする前に単位をそろえます。
中学受験の速さの問題では、次の単位がよく使われます。
- 時速：1時間あたりに進む道のり
- 分速：1分あたりに進む道のり
- 秒速：1秒あたりに進む道のり
例えば、分速60mと時速3.6kmは、同じ速さです。
分速60mを時速に直すと、
60×60＝3600（m）
3600m＝3.6km
となります。
したがって、どちらも時速3.6kmです。
速さの比を求めるときも、時速と分速が混ざっていれば、単位をそろえてから比較します。
比の考え方が分からないのか、単位換算で間違えているのかは、分けて確認することが大切です。
速さと比では、どんな数量の関係を考える必要がある？
速さと比では、具体的な速さや時間が分からなくても、数量同士の関係から答えを求められることがあるからです。
例えば、同じ道のりを進む2人の速さの比が2：3であれば、実際の速さが時速何kmなのか分からなくても、時間の比は3：2と求められます。
これは、道のりが一定のとき、速さと時間が反比例するためです。
このように、速さと比では、数字を公式に当てはめるだけでなく、数量の関係を利用します。
そのため、基本公式を使った計算ができるようになったら、次は「何が一定なのか」を意識して考える練習が必要です。
速さと比の解き方は？何が一定なのかによって3つに分けて考える
速さと比の基本問題は、道のり・時間・速さのどれが一定なのかによって、3つに分けて考えられます。
それぞれの関係を、具体的な例題で確認しましょう。
道のりが一定のとき、速さの比と時間の比が逆になるのはなぜ？
同じ道のりを進む場合、速さが大きいほどかかる時間は短くなるため、速さの比と時間の比は逆比になります。
例えば、AさんとBさんが同じ12kmの道のりを進むとします。
Aさんの速さは時速4km、Bさんの速さは時速6kmです。
速さの比は、
4：6＝2：3
となります。
それぞれにかかる時間を求めると、
Aさん：12÷4＝3（時間）
Bさん：12÷6＝2（時間）
したがって、時間の比は、
3：2
です。
速さの比が2：3であるのに対して、時間の比は3：2になっています。
これは、道のりが一定であるためです。
「速さの比と時間の比は逆にする」とだけ覚えるのではなく、「同じ道のりだから逆比になる」と説明できることが大切です。
時間が一定のとき、速さの比と道のりの比はどうなる？
同じ時間だけ進む場合、速さの比と道のりの比は等しくなります。
例えば、AさんとBさんがそれぞれ2時間進むとします。
Aさんの速さは時速4km、Bさんの速さは時速6kmです。
進んだ道のりは、
Aさん：4×2＝8（km）
Bさん：6×2＝12（km）
となります。
したがって、道のりの比は、
8：12＝2：3
です。
速さの比も、
4：6＝2：3
なので、両者は等しくなります。
同じ時間であれば、速い人ほど長い道のりを進みます。
ここでは、時間が一定であることを確認してから、速さの比と道のりの比が等しいと考えます。
速さが一定のとき、道のりの比と時間の比はどうなる？
同じ速さで進む場合、道のりの比と時間の比は等しくなります。
例えば、時速4kmで進む人が、3時間進んだ場合と4時間進んだ場合を比較します。
3時間で進む道のりは、
4×3＝12（km）
4時間で進む道のりは、
4×4＝16（km）
です。
道のりの比は、
12：16＝3：4
となります。
時間の比も3：4です。
つまり、速さが一定であれば、時間が2倍になると道のりも2倍になり、時間が3倍になると道のりも3倍になります。
この関係を理解できれば、具体的な速さが分からない問題でも、比を使って考えられます。
速さと比の文章題では、何が一定なのかをどう見つける？
速さと比の文章題では、数字を計算する前に、誰が・どこからどこまで・どれだけの時間進んだのかを整理することが大切です。
実際の指導で私が特に重視しているのが、この部分です。
道のりが一定なのか、時間が一定なのかを読み取れなければ、比の関係を知っていても正しく使えません。
問題文のどこを読めば、道のりが一定だと分かる？
同じ区間を移動している場合や、同じ2地点間を進んでいる場合は、道のりが等しいかどうかを確認します。
例えば、次の問題を考えます。
Aさんは家から学校まで分速60mで歩き、Bさんは同じ道を分速90mで歩きました。2人が家から学校まで進むのにかかった時間の比を求めなさい。
この問題で注目するのは、「同じ道」という条件です。
2人が進んだ道のりは等しいので、一定なのは道のりです。
速さの比は、
60：90＝2：3
したがって、時間の比は、
3：2
となります。
問題文に「道のりは一定です」と書かれていなくても、同じ道を進んでいることから判断できます。
ただし、出発地点と到着地点が同じでも、別々の経路を進む場合には道のりが等しいとは限りません。
どの区間を進んだのかまで確認することが必要です。
時間が一定なのかを見つけるには、何に注目する？
同じ時間だけ移動している場合や、同時に出発して同じ時刻まで進んでいる場合は、時間が等しいと考えられます。
例えば、次の問題です。
AさんとBさんが同時に出発し、それぞれ一定の速さで20分間進みました。速さの比が3：4のとき、進んだ道のりの比を求めなさい。
2人とも20分間進んでいるので、一定なのは時間です。
したがって、道のりの比は速さの比と等しく、
3：4
となります。
ここでは「同時に出発した」という条件だけでなく、同じ20分間進んだことが重要です。
同時に出発していても、移動を終えた時刻が異なれば、進んだ時間が同じとは限りません。
問題文を読むときは、出発時刻と終了時刻の両方を確認する必要があります。
条件が複雑なときは、線分図や表に何を書けばよい？
文章題の条件が複雑なときは、人物ごとに速さ・道のり・時間を整理し、等しい数量を確認します。
例えば、AさんとBさんが異なる速さで同じ道を進む問題であれば、次のような表を作ります。
| 数量 | Aさん | Bさん |
|---|---|---|
| 速さ | 分速60m | 分速90m |
| 道のり | 同じ | 同じ |
| 時間 | 分からない | 分からない |
この表を見ると、道のりが一定であることが分かります。
そのため、速さの比と時間の比は逆比になると判断できます。
また、旅人算のように2人の位置関係が重要な問題では、線分図を使うと整理しやすくなります。
図を書くときは、次のことを意識します。
- 出発地点と到着地点
- 進む方向
- それぞれが進んだ道のり
- 出発や到着の時刻
- 2人が出会う地点や追いつく地点
図を書くこと自体が目的ではありません。
図を使って、どの数量が等しく、どの数量が異なるのかを確認することが大切です。
問題文に「一定」と書かれていないときはどう考える？
「一定」という言葉がなくても、数量が等しいことを示す条件を探します。
例えば、次のような表現です。
| 問題文の表現 | 確認したい数量 |
|---|---|
| 同じ道を進む | 道のり |
| 同じ区間を往復する | 往路と復路の道のり |
| 2人とも30分間進む | 時間 |
| 同時に出発し、同じ時刻まで進む | 時間 |
| 一定の速さで進み続ける | 速さ |
ただし、「同じ区間を往復する」場合は、往路と復路をそれぞれ比較すると道のりが等しいという意味です。
往復全体と片道の道のりが等しいわけではありません。
また、1人が一定の速さで進むことと、2人の速さが等しいことも別です。
言葉だけを暗記するのではなく、何と何を比較しているのかを確認しましょう。
速さと比の応用問題はどう解く？旅人算で考え方を確認しよう
旅人算でも、最初に2人の移動の様子を整理し、どの数量が等しいのかを確認することが重要です。
基本問題では「同じ道のり」「同じ時間」と明確に書かれていることがあります。
一方、旅人算では、出会った時刻や追いついた時刻などから、等しい数量を自分で見つける必要があります。
出会い算では、速さの比をどう使う？
2人が同時に出発して出会う場合、出会うまでに進んだ時間は等しいため、進んだ道のりの比は速さの比と等しくなります。
例えば、次の問題を考えます。
12km離れたA地点とB地点から、2人が同時に向かい合って出発しました。2人の速さの比は2：3です。出会うまでにそれぞれ何km進みましたか。
2人は同時に出発し、同じ時刻に出会っています。
したがって、出会うまでに進んだ時間は等しくなります。
時間が一定なので、進んだ道のりの比は速さの比と等しく、
2：3
です。
全体の道のりは12kmなので、
12÷（2＋3）＝2.4（km）
これが比の1にあたる道のりです。
したがって、
A地点から進んだ人：2.4×2＝4.8（km）
B地点から進んだ人：2.4×3＝7.2（km）
となります。
この問題では、速さの比を使う前に、出会うまでの時間が等しいことを確認できるかが重要です。
追いつき算では、何が一定なのかをどう確認する？
追いつき算では、2人の出発時刻が異なることもあるため、進んだ時間が等しいとは限りません。
例えば、Aさんが先に出発し、その10分後にBさんが出発して追いつく問題を考えます。
2人が同じ地点で出会ったとしても、AさんとBさんが進んだ時間は異なります。
そのため、速さの比をそのまま道のりの比にすることはできません。
一方、2人が同時に同じ地点を出発し、異なる速さで同じ方向へ進む場合は、出発してから同じ時刻までの時間が等しくなります。
つまり、追いつき算だから必ず同じ考え方を使うのではなく、問題ごとに条件を確認する必要があります。
特に重要なのは、次の2点です。
- 2人が出発した時刻は同じか
- それぞれが何分間進んだのか
出発時刻と移動時間を整理してから、比を使える関係を探しましょう。
速さとグラフの問題でも、同じ考え方を使える？
速さとグラフの問題でも、道のりと時間の関係を確認するという基本は同じです。
例えば、横軸が時間、縦軸が出発地点からの道のりを表すグラフでは、直線の傾きから速さを読み取ることができます。
同じ時間の間に進んだ道のりが長いほど、速さは大きくなります。
また、同じ道のりに到達するまでの時間を比較する場合には、速さと時間の逆比の関係を使えることがあります。
ただし、グラフによっては、縦軸が「2人の間の距離」になっている場合もあります。
その場合は、縦軸が表す数量を確認しないまま、通常の道のりと時間の関係を当てはめないようにしましょう。
グラフの問題でも、何を表している数字なのか、何と何を比較しているのかを読み取ることが大切です。
速さと比が苦手な子は、どこでつまずいているのか？
速さと比が苦手な場合は、計算力だけでなく、数量の関係や問題文の条件を理解できているかを確認する必要があります。
同じ問題を間違えていても、原因はお子さんによって異なります。
そのため、間違えた問題の答えだけを見るのではなく、どの段階で考え方が分からなくなったのかを確認します。
速さの公式は使えるのに、比の問題が解けないのはなぜ？
公式に数字を当てはめることはできても、文章から数量の関係を判断することが難しい場合があるからです。
例えば、「時速4kmで3時間進む道のり」を求める問題なら、公式を使って12kmと答えられるお子さんがいます。
しかし、「速さの比が2：3の2人が同じ道のりを進むとき、時間の比はどうなるか」と聞かれると、答えられないことがあります。
前者は、与えられた数値を公式に当てはめる問題です。
後者は、道のりが一定であることを読み取り、速さと時間の関係を考える問題です。
必要となる考え方が異なるため、公式の計算ができることだけで、速さと比を理解しているとは判断できません。
速さの比と時間の比を反対にしてしまうのはなぜ？
道のりが一定であることを確認せずに、速さと時間の比を考えている可能性があります。
例えば、速さの比が2：3のとき、時間の比も2：3としてしまう間違いがあります。
逆に、速さの比を見たら、どのような問題でも3：2にすればよいと覚えてしまう場合もあります。
しかし、逆比になるのは道のりが一定の場合です。
時間が一定なら、速さの比と道のりの比は等しくなります。
このような間違いが見られたときは、逆比の計算だけを練習するのではなく、
「この問題では何が同じなの？」
「速い人と遅い人では、どちらが短い時間で進めるの？」
と確認してみましょう。
答えを覚えるのではなく、数量の関係を説明できることが大切です。
割合や比の基本まで戻って復習した方がよいのはどんなとき？
2：3などの比の意味や、比を使った数量の求め方が理解できていない場合は、速さの応用問題より先に比の基本を復習する必要があります。
例えば、次のような問題が解けるか確認します。
AとBの比は2：3で、合計が20です。AとBをそれぞれ求めなさい。
答えは、
20÷（2＋3）＝4
A＝4×2＝8
B＝4×3＝12
です。
この問題が難しい場合は、速さと比の文章題に進む前に、比の基本を確認した方がよいでしょう。
また、割合の理解が不十分な場合にも、比を使った数量の関係が分かりにくくなることがあります。
難しい速さの問題を繰り返すよりも、今のお子さんが理解できているところまで戻って確認することが大切です。
速さと比を自分で解けるようにするには、どのように練習すればよい？
速さと比の練習では、最初から難しい文章題に取り組むのではなく、何が一定なのかを見つける基本問題から始めることをおすすめします。
そして、考え方を理解した後は、類題を使って自分の力で解けるかを確認します。
最初はどのような基本問題から練習する？
最初は、道のり・速さ・時間のどれが一定なのかが明確な、短い文章題から始めましょう。
例えば、次の3問です。
問題1
AさんとBさんは同じ道のりを進みます。速さの比が3：4のとき、時間の比を求めなさい。
答え：4：3
問題2
AさんとBさんは同じ時間だけ進みます。速さの比が3：4のとき、道のりの比を求めなさい。
答え：3：4
問題3
一定の速さで進むとき、進む時間の比が3：4なら、道のりの比を求めなさい。
答え：3：4
この3問は、計算自体は難しくありません。
しかし、問題ごとに一定の数量が異なります。
正解できたかどうかだけでなく、「なぜその比になるのか」を説明できるかを確認しましょう。
例題を理解した後は、どのような類題に取り組む？
例題を理解した後は、数字だけを変えた問題と、一定の数量を変えた問題の両方に取り組むことが大切です。
例えば、最初に「同じ道のりを進む2人の速さの比」について学習したとします。
その後、数字を2：3から4：5に変えた問題を解きます。
さらに、「同じ道のり」ではなく「同じ時間」を条件にした問題にも取り組みます。
数字を変えるだけの練習では、解き方を覚えて答えられるようになることがあります。
しかし、条件が変わった問題を解くことで、本当に数量の関係を理解できているかを確認できます。
速さと比では、何が一定なのかを自分で判断する練習を取り入れましょう。
解説を見ずに解けるようになったか、どう確認する？
解説を読んで理解した後は、何も見ずに同じ考え方を使えるかを確認します。
算数の学習では、説明を聞いて「分かった」と感じても、後から自分で解こうとすると手が止まることがあります。
そのため、解説を読んだ直後に終わりにするのではなく、少し時間を置いて解き直したり、類題に取り組んだりすることが大切です。
確認したいのは、次の3点です。
- 問題文から一定の数量を見つけられるか
- なぜその比の関係を使うのか説明できるか
- 解説を見ずに式を立てて答えを求められるか
この3つを確認することで、単に解き方を覚えたのか、考え方を理解しているのかを見分けやすくなります。
速さと比のプリントや問題集は、どのように選ぶ？
速さと比が苦手な場合は、難問を数多く解くよりも、基本から段階的に練習できる教材を選ぶことが大切です。
特に、次の順番で取り組める教材が適しています。
- 速さ・道のり・時間の基本計算
- 何が一定なのかが明確な比の問題
- 一定の数量を自分で読み取る文章題
- 出会い算・追いつき算などの応用問題
問題集に取り組む際には、すべての問題を同じように繰り返す必要はありません。
間違えた問題について、計算で間違えたのか、条件を読み取れなかったのかを確認し、必要な問題を選んで復習します。
問題数を増やすことよりも、同じ考え方を自分で使えるようにすることを優先しましょう。
家庭で速さと比を復習するとき、保護者は何を確認すればよい？
保護者の方が確認したいのは、お子さんが問題文から一定の数量を見つけ、その理由を説明できるかどうかです。
保護者が速さと比の解法をすべて理解して、教えなければならないわけではありません。
まずは、お子さんがどこで分からなくなっているのかを確認することから始めましょう。
子どもが間違えたとき、最初に何を質問すればよい？
最初に「この問題では、道のり・速さ・時間のどれが同じなの？」と尋ねてみましょう。
例えば、速さの比が2：3なのに、時間の比を2：3と答えた場合です。
すぐに「逆比だから3：2でしょう」と教えるのではなく、
「2人は同じ道のりを進んでいるのかな？」
「同じ道のりなら、速い人と遅い人では、どちらが先に着くかな？」
と確認します。
お子さんが自分で「道のりが同じだから、速い人の方が時間は短い」と説明できれば、数量の関係を理解することにつながります。
一方、説明できない場合は、具体的な数字を使った基本問題に戻って確認します。
大切なのは、正しい答えを教えることだけではなく、どの考え方が分かっていないのかを見つけることです。
基本問題は解けるのに応用問題が解けない場合、どう進める？
基本問題が解けても応用問題で手が止まる場合は、文章題の条件を整理する練習を取り入れましょう。
例えば、「同じ道のりを進む」と明確に書かれた問題は解けるのに、旅人算になると分からなくなるお子さんがいます。
この場合、逆比の計算を繰り返すだけでは、解決しないことがあります。
問題文を読みながら、
「誰がどこから出発したのか」
「2人が進んだ時間は同じなのか」
「それぞれが進んだ道のりはどこなのか」
を整理する練習が必要です。
文章を読んで必要な条件を見つけることが難しい場合は、図や表に書き出すところから始めましょう。
塾の宿題が多い場合、速さと比の復習をどこまで優先する？
塾の宿題が多い場合は、すべての問題を解き直すのではなく、つまずいている考え方に関係する問題を優先しましょう。
例えば、四谷大塚の予習シリーズなどで速さと比を学習している場合、基本問題から応用問題まで多くの問題に取り組むことがあります。
しかし、道のりが一定なのか、時間が一定なのかを読み取れない状態で、難しい旅人算を繰り返しても、なかなか解けるようにならないことがあります。
そのような場合は、まず基本問題に戻り、
「何が一定なのか」
「なぜこの比を使うのか」
を説明できるか確認します。
その後、同じ考え方を使う類題を解き、できるようになったら応用問題に戻ります。
塾の学習をすべて止める必要があるとは限りません。
現在の授業内容や宿題の量も考慮しながら、今のお子さんに必要な復習を優先することが大切です。
まとめ｜速さと比は「何が一定か」を確認することから始めよう
中学受験の算数で速さと比を理解するためには、公式を覚えるだけでなく、道のり・速さ・時間の関係を考えることが必要です。
特に大切なのは、問題文から何が一定なのかを見つけることです。
道のりが一定であれば、速さの比と時間の比は逆比になります。
時間が一定であれば、速さの比と道のりの比は等しくなります。
速さが一定であれば、時間の比と道のりの比は等しくなります。
この3つの関係を覚えるだけでなく、なぜその関係になるのかを説明できるようにしましょう。
また、速さと比の問題が解けない場合は、難しい問題を繰り返す前に、どこでつまずいているのかを確認することが大切です。
家庭学習では、まずお子さんに、
「この問題では、何が一定なの？」
と質問してみてください。
その理由まで説明できるかを確認することで、次にどのような学習が必要なのかを考えやすくなります。
速さと比が苦手なお子さんの学習についてお悩みの方へ
算数専門の家庭教師として、私は、お子さんが問題を間違えたときに、答えや解き方だけを教えるのではなく、どの部分で考え方が分からなくなっているのかを確認することを大切にしています。
速さと比の問題でも、逆比の使い方を覚えれば解決する場合もあれば、速さの基本公式や割合・比の学習まで戻る必要がある場合もあります。
また、基本問題は解けていても、文章題から必要な条件を読み取ることが難しいお子さんもいます。
そのため、今できていることと、まだ理解できていないことを整理し、必要なところから学習を進めていきます。
「速さと比の問題になると、どこから考えればよいのか分からない」
「基本問題は解けるのに、旅人算などの応用問題になると手が止まってしまう」
「家庭学習でどこまで戻って復習すればよいのか判断できない」
このような場合は、現在取り組んでいる教材やテストの答案などをもとに、つまずいている原因を一緒に確認できます。
算数が苦手なお子さんが、問題文を自分で読み取り、考え方を選んで解けるようになることを目指しています。
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