小学6年生の算数「拡大図・縮図」の解き方｜苦手になる原因と正しく解くコツ
鈴 木稔小学6年生の算数で学習する「拡大図・縮図」は、図形の形を変えずに大きくしたり、小さくしたりする単元です。
一見すると簡単そうですが、実際に問題を解いてみると、「どの辺の長さを使えばよいのか分からない」「何倍すればよいのか迷ってしまう」「縮図を正確にかけない」といったところでつまずくお子さんもいます。
特に、拡大図・縮図では、対応する辺や角を正しく見つけること、倍率を理解すること、図形の性質を利用することが大切です。
この記事では、拡大図・縮図の基本的な考え方から、問題の解き方、間違えやすいポイント、家庭学習での練習方法まで、算数が苦手なお子さんにも分かるように解説します。
拡大図・縮図とは？まずは基本的な意味を理解しよう
拡大図とは、形を変えずに大きくした図形
拡大図とは、もとの図形の形を変えずに、一定の割合で大きくした図形のことです。
例えば、縦3cm、横4cmの長方形を2倍に拡大すると、縦6cm、横8cmの長方形になります。
ここで重要なのは、縦も横も同じ倍率で大きくするということです。
縦だけ2倍にして横を3倍にすると、もとの図形とは形が変わってしまうため、拡大図にはなりません。
縮図とは、形を変えずに小さくした図形
縮図とは、もとの図形の形を変えずに、一定の割合で小さくした図形のことです。
例えば、縦6cm、横8cmの長方形を2分の1に縮小すると、縦3cm、横4cmになります。
地図や建物の設計図なども、縮図の考え方を利用しています。
拡大図・縮図で変わるものと変わらないもの
拡大図・縮図では、次の性質を理解しておきましょう。
| 図形の性質 | 拡大図・縮図では |
|---|---|
| 辺の長さ | 同じ倍率で変わる |
| 角の大きさ | 変わらない |
| 図形の形 | 変わらない |
| 周の長さ | 倍率に合わせて変わる |
| 面積 | 倍率の2乗に合わせて変わる |
特に重要なのが、対応する角の大きさは変わらないという性質です。
この性質を理解していないと、角度を求める問題でも間違えてしまいます。
拡大図・縮図の問題を解くために必要な3つの考え方
① 対応する辺と角を正しく見つける
拡大図・縮図の問題で最初に確認したいのが、対応する辺と角です。
例えば、三角形ABCを拡大して三角形DEFを作ったとします。
AとD、BとE、CとFがそれぞれ対応している場合、対応する辺は次のようになります。
- 辺ABと辺DE
- 辺BCと辺EF
- 辺CAと辺FD
対応する辺の組み合わせを間違えると、倍率を正しく求めることができません。
特に、図形が回転していたり、向きが反対になっていたりすると、見た目だけで判断してしまうお子さんがいます。
そのような場合は、対応する頂点に同じ印をつけることをおすすめします。
② 何倍になっているかを求める
拡大図・縮図では、対応する辺の長さを使って倍率を求めます。
例えば、もとの図形で4cmだった辺が、拡大図では10cmになっている場合、
10÷4=2.5
となり、2.5倍の拡大図であることが分かります。
逆に、もとの図形で10cmだった辺が4cmになっている場合、
4÷10=0.4
となり、0.4倍、つまり5分の2の縮図になります。
ここで気をつけたいのは、どちらの図形をもとにして考えているかということです。
「大きい数÷小さい数」と覚えるのではなく、
倍率=新しい図形の辺の長さ÷もとの図形の対応する辺の長さ
と理解することが大切です。
③ 角度は変わらないことを利用する
拡大図・縮図では、辺の長さは変わりますが、対応する角の大きさは変わりません。
例えば、もとの三角形の角が50°、60°、70°ならば、3倍の拡大図でも角度は50°、60°、70°のままです。
「3倍に拡大したから角度も3倍になる」と考えてしまわないように注意しましょう。
拡大図・縮図の基本問題を解いてみよう
例題1 拡大図の辺の長さを求める
問題
三角形ABCの辺ABの長さは6cmです。この三角形を3倍に拡大したとき、辺ABに対応する辺の長さを求めなさい。
解き方
もとの長さを3倍にするので、
6×3=18
答えは18cmです。
この問題では、「3倍に拡大する」という意味を正しく理解できているかがポイントです。
例題2 縮図の辺の長さを求める
問題
縦12cm、横18cmの長方形を3分の1の縮図にします。縮図の縦と横の長さを求めなさい。
解き方
縦の長さは、
12×1/3=4
横の長さは、
18×1/3=6
答えは縦4cm、横6cmです。
ここでは、縮図を作るときに、縦と横の両方に同じ倍率をかけることを確認しましょう。
例題3 拡大した倍率を求める
問題
ある三角形の1つの辺は5cmです。この三角形を拡大すると、対応する辺の長さが15cmになりました。何倍の拡大図ですか。
解き方
15÷5=3
答えは3倍です。
倍率を求める問題では、もとの長さと拡大後の長さを区別することが大切です。
拡大図・縮図を正確にかくためのコツ
方眼紙を利用して図形をかく
拡大図・縮図を初めて学習する場合は、方眼紙を使った練習がおすすめです。
例えば、次のような三角形を考えます。
底辺が3マス、高さが2マスの直角三角形を2倍に拡大した例
2倍の拡大図では、底辺を6マス、高さを4マスにします。
このように、横方向と縦方向の長さがそれぞれ何倍になるかを確認すると、図形を正確にかきやすくなります。
定規と分度器を使ってかく
方眼紙を使わない場合は、定規と分度器を使って拡大図・縮図をかきます。
例えば、三角形を2倍に拡大する場合、次の手順で作図できます。
- もとの三角形の1つの辺の長さを測る。
- その辺を2倍にした長さの線分をかく。
- もとの三角形と同じ角度になるように線を引く。
- 残りの辺の長さや角度を確認して三角形を完成させる。
ここで大切なのは、長さだけでなく、角度も正確に測ることです。
1つの頂点を中心に拡大・縮小する方法
三角形では、1つの頂点を中心にして拡大図や縮図をかく方法もあります。
例えば、三角形ABCを頂点Aを中心に2倍に拡大する場合、半直線AB上にABの2倍の長さとなる点B'をとり、半直線AC上にACの2倍の長さとなる点C'をとります。
最後にB'とC'を結ぶと、2倍の拡大図が完成します。
この方法では、対応する頂点が一直線上に並ぶことを意識すると理解しやすくなります。
拡大図・縮図でよくある間違いとその原因
① 拡大すると角度も大きくなると思ってしまう
拡大図では、辺の長さは大きくなりますが、角度は変わりません。
例えば、60°の角を2倍に拡大しても120°にはなりません。
このような間違いが見られる場合は、実際に2つの図形をかいて、対応する角を分度器で測ってみるとよいでしょう。
② 対応する辺を間違えてしまう
特に、図形の向きが変わっている問題では、対応する辺を間違えやすくなります。
この場合は、いきなり計算を始めるのではなく、対応する頂点や辺に印をつける習慣をつけましょう。
③ 拡大と縮小で計算を混同してしまう
例えば、12cmの辺を3分の1に縮小する問題で、
12×3=36
としてしまうお子さんもいます。
この場合は、計算方法だけを覚え直すのではなく、縮図なのだから、もとの長さより短くなるはずという確認が必要です。
計算結果が問題の条件に合っているかを考える習慣が、ミスを防ぐことにつながります。
④ 図形を正確にかけない
考え方は理解できていても、定規や分度器を正しく使えず、図形がずれてしまうことがあります。
その場合は、計算問題とは別に作図の練習を取り入れることをおすすめします。
拡大図・縮図が苦手な子は、割合や比の理解も確認しよう
拡大図・縮図が苦手な場合、その原因が図形の学習だけにあるとは限りません。
特に確認したいのが、割合や比の考え方です。
例えば、次のような問題です。
問題
ある図形の辺の長さを1.5倍にすると9cmになりました。もとの辺の長さは何cmですか。
この問題では、
9÷1.5=6
と計算します。
しかし、倍率の意味が十分に理解できていないと、9×1.5としてしまうことがあります。
このような場合は、拡大図・縮図の問題を繰り返す前に、次のような基本問題に戻ることも大切です。
- 4cmの2倍は何cmか。
- 12cmの半分は何cmか。
- 6cmを1.5倍すると何cmか。
- ある長さを3倍すると15cmになる。もとの長さは何cmか。
これらが正確に解けるようになると、拡大図・縮図の計算も理解しやすくなります。
拡大図・縮図の応用問題では何に注意する？
縮図を使って実際の長さを求める
拡大図・縮図の応用問題では、縮図を利用して実際の長さを求める問題が出題されます。
問題
実際の長さを500分の1に縮めた地図があります。地図上で8cmの道のりは、実際には何mですか。
解き方
実際の長さは、
8×500=4000
4000cmなので、
4000÷100=40
答えは40mです。
ここでは、倍率の計算だけでなく、cmからmへの単位換算にも注意が必要です。
縮図を使って高さを求める問題
建物や木の高さなど、直接測ることが難しい長さを求める問題でも、縮図を利用できます。
例えば、実際の建物と地面、観測地点を三角形として考え、その三角形の縮図をかいて高さを測る方法があります。
この場合は、測った距離や角度をもとに正確な縮図をかくことが重要です。
拡大図・縮図ができるようになる家庭学習の進め方
最初は基本問題を繰り返す
拡大図・縮図が苦手なお子さんに、最初から難しい応用問題をたくさん解かせる必要はありません。
まずは、対応する辺を見つける問題や、倍率を求める問題から始めましょう。
特に、次の順番で学習することをおすすめします。
- 対応する辺と角を見つける図形の向きが変わっていても正しく判断できるようにする。
- 倍率を求める拡大と縮小の違いを確認する。
- 辺の長さや角度を求める基本的な計算を確実にできるようにする。
- 拡大図・縮図を実際にかく方眼紙から始め、定規や分度器を使った作図へ進む。
- 縮図を使った文章問題を解く地図や実際の長さを求める問題に取り組む。
解説を見た後は、何も見ずにもう一度解く
解説を読んで理解できたとしても、それだけで問題が解けるようになったとは限りません。
特に算数が苦手なお子さんには、解説を見た後に、何も見ずに同じ問題を解き直すことをおすすめします。
解き方を再現できるようになってから、数字や図形を変えた類題に進みましょう。
丸つけの前に自分で見直す
拡大図・縮図では、答えを出した後の確認も大切です。
例えば、3分の1の縮図を求める問題で、もとの長さより大きい答えになっていないかを確認します。
また、作図した場合は、対応する角度や辺の長さが条件に合っているかを確かめましょう。
自分で間違いに気づく経験を重ねることが、正確に解く力につながります。
よくある質問
Q1 拡大図・縮図は何年生で習いますか？
小学校6年生の算数で学習します。小学校で学ぶ割合や図形の性質を利用する単元であり、中学校で学習する相似の考え方にもつながります。
Q2 拡大図・縮図では面積も同じ倍率になりますか？
いいえ。辺の長さを2倍にすると面積は4倍、3倍にすると面積は9倍になります。
例えば、縦3cm、横4cmの長方形の面積は12㎠ですが、2倍に拡大すると縦6cm、横8cmとなり、面積は48㎠になります。
Q3 拡大図・縮図が苦手な場合、どこまで戻って復習すればよいですか？
まずは、整数や小数、分数のかけ算・わり算と、割合の意味を理解できているか確認しましょう。
計算に問題がない場合は、対応する辺や角を見つける練習から始めるとよいでしょう。
Q4 拡大図・縮図の問題では、必ず図をかく必要がありますか？
辺の長さや倍率を求めるだけの問題では、必ずしも図をかく必要はありません。
ただし、対応する辺が分かりにくい問題や、実際の長さを求める文章問題では、簡単な図をかいて整理すると解きやすくなります。
まとめ｜拡大図・縮図は倍率と対応関係を理解することが大切
拡大図・縮図は、図形の形を変えずに大きくしたり、小さくしたりする単元です。
この単元を理解するためには、次の3つが重要です。
- 対応する辺と角を正しく見つけること
- 辺の長さが何倍になっているかを理解すること
- 対応する角の大きさは変わらないと理解すること
また、問題が解けない場合は、図形の性質だけでなく、割合や分数の計算が原因になっている可能性もあります。
そのため、難しい問題を繰り返すよりも、どこで間違えているのかを確認し、必要なところまで戻って練習することが大切です。
基本問題を正確に解けるようにしてから、作図や縮図を利用した文章問題に進みましょう。
算数が苦手なお子さんの学習についてお悩みの保護者の方へ
拡大図・縮図に限らず、算数の問題が解けない原因は、お子さんによって異なります。
図形の性質が理解できていない場合もあれば、割合や計算など、以前に学習した内容が十分に身についていない場合もあります。
算数・数学専門の家庭教師として、現在のお子さんの理解度を確認し、必要なところまで戻りながら、一人で問題を解ける力を身につけるための指導を行っています。
算数の苦手克服や家庭学習の進め方についてお困りの場合は、お気軽にご相談ください。
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