「角柱や円柱の体積になると、急に分からなくなる」
「底面積×高さという公式は覚えているのに、問題になると使えない」
「体積は何とかできるけれど、表面積になると何を足せばいいのか分からない」
小学生の算数を教えていると、このような悩みはよくあります。
特に中学受験では、単純に角柱や円柱の体積を求めるだけではなく、立体の一部を切り取ったり、水を入れたり、複数の立体を組み合わせたりする問題へと発展していきます。
そのため、最初の段階で公式だけを覚えてしまうと、少し形が変わっただけで対応できなくなることがあります。
大切なのは、「角柱の体積＝底面積×高さ」を暗記することではなく、なぜ底面積×高さになるのかを理解すること
です。
今回は、角柱や円柱の体積・表面積が分からない子に対して、どのような順番で学習するとよいのかを解説します。
角柱・円柱の体積が分からないなら、まず直方体に戻る
角柱の体積が分からない子に、いきなり「角柱の体積は底面積×高さだよ」と教えても、なかなか定着しないことがあります。
そのような場合には、一度「直方体の体積」まで戻ってみましょう。
直方体の体積は、「たて×よこ×高さ」で求めます。
ここまでは答えられる子も多いと思います。
しかし、大切なのは公式を言えることではありません。
「たて×よこって、何を求めているの？」と聞いてみてください。
ここで、「底にある長方形の面積」と答えられるかどうかが重要です。
つまり、「たて×よこ×高さ」という計算は、「（たて×よこ）×高さ」と見ることができます。
「たて×よこ」は底にある長方形の面積ですから、「底面積×高さ」という形になっています。
このことに気づいてもらうことが、角柱の体積を理解する第一歩です。
「たて×よこ×高さ」と「底面積×高さ」は別の公式ではない
算数が苦手な子ほど、単元ごとに公式を別々に覚えようとすることがあります。
直方体なら、「たて×よこ×高さ」角柱なら、「底面積×高さ」円柱なら、「円の面積×高さ」というように、3種類の公式として覚えてしまうのです。
しかし、本来はすべて同じ考え方です。
直方体では底面が長方形なので、「長方形の面積×高さ」になります。
三角柱なら底面が三角形なので、「三角形の面積×高さ」です。
円柱なら底面が円なので、「円の面積×高さ」になります。
つまり、覚えるものが増えているわけではありません。
「同じ形・同じ大きさの面が高さ方向に積み重なっている」と考えることができれば、基本的には「底面積×高さ」で体積を求められるのです。
角柱かどうかを「上と下の図形」で確認する
次に大切なのが、「そもそも角柱とはどのような立体なのか」を理解することです。
算数が苦手な子の場合、「三角柱」「四角柱」という名前だけを覚えていて、図を見たときに角柱だと判断できないことがあります。
そこで、実際の立体を見たときには、「上から見える図形と、下に置かれている図形を比べてみよう」と声をかけてみてください。
例えば三角柱であれば、上と下に同じ形・同じ大きさの三角形があります。
四角柱であれば、上と下に同じ形・同じ大きさの四角形があります。
ここで大切なのは、立体図形をただ眺めるのではなく、「上の面はどこ？」「下の面はどこ？」「この2つは同じ形になっている？」と、一つずつ確認させることです。
角柱の体積が苦手だからといって、必ずしも計算が苦手とは限りません。
立体の中から底面を見つけられていないことが原因になっている場合もあります。
「底面」は必ずしも紙の下側に描かれているとは限らない
ここは中学受験の算数でも重要です。
「底面」という言葉から、子どもは「図の一番下にある面」を探そうとすることがあります。
しかし、立体は向きを変えて描くことができます。
横向きに寝かされた角柱なら、紙面上では左右に同じ図形が描かれていることもあります。
そのため、「下にある面＝底面」と覚えさせるより、「向かい合っている同じ形・同じ大きさの2つの面を探す」
という見方を身につける方がおすすめです。
その2面の一方を底面と考えれば、2つの面の間の距離が「高さ」になります。
ここまで分かるようになると、少し傾いた図や横向きの図でも対応しやすくなります。
角柱の体積を十分練習してから円柱へ進む
角柱の体積が理解できたら、次に円柱へ進みます。
ここでも、円柱の公式を新しく暗記させる必要はありません。
角柱で学んだ、「底面積×高さ」という考え方をそのまま使います。
円柱の場合には、底面が円になっただけです。
したがって、最初に円の面積を求め、その面積に高さをかけます。
例えば、半径3cm、高さ5cmの円柱であれば、底面積は、「3×3×3.14＝28.26㎠」です。
したがって体積は、「28.26×5＝141.3㎤」となります。
ここでも、「円柱だからこの公式」と考えるのではなく、
「底面は何？」
↓
「円」
↓
「では、まず円の面積を求めよう」
↓
「それを高さの分だけ積み重ねよう」
という順番で考えさせることが重要です。
おすすめの学習順序は「直方体→角柱→円柱」
角柱や円柱の体積が苦手な子には、次の順番で練習することをおすすめします。
・直方体の体積を「たて×よこ×高さ」で求める
・「たて×よこ」が底面積であることを確認する
・三角柱などで底面を探す
・底面積を求める
・「底面積×高さ」で角柱の体積を求める
・底面が円になった円柱へ進む
この順番であれば、「新しい公式を次々に覚える」という学習ではなく、「直方体で学んだ考え方を少しずつ広げていく学習」になります。
算数が苦手な子ほど、このように既に知っていることと新しい内容をつなげてあげることが大切です。
表面積では「全部の面を足す」ところから始める
次は表面積です。
表面積についても、いきなり公式を覚えさせることはおすすめしません。
まず、「表面積とは、その立体の外側にある面の面積を全部足したもの」という意味を理解することから始めましょう。
例えば直方体なら、面は全部で6つあります。
まずは、「上の面」「下の面」「前の面」「後ろの面」「右の面」「左の面」と確認し、それぞれの面積を足してみます。
最初から効率のよい計算方法を教える必要はありません。
むしろ、苦手な子には一度すべて書き出させた方が、「表面積とは何を求めているのか」が分かりやすくなります。
角柱の表面積は「底面2枚＋横の面」と考える
角柱の表面積では、「底面が2枚ある」ということを確認します。
例えば三角柱なら、同じ三角形が2枚あります。
それに加えて、横側に長方形があります。
したがって、「底面2枚の面積＋側面の面積」と考えればよいわけです。
ここでも、公式を覚えることより、「この立体を紙で包むとしたら、どの面が必要？」と考えさせると分かりやすくなります。
可能であれば、実際に箱を用意して展開図を書いたり、市販のお菓子の箱を切り開いたりするのもよい練習になります。
立体の状態では分からなかった子でも、展開図にすると「全部の面を足す」という意味が理解できることがあります。
円柱の表面積も「底面2枚＋側面」
円柱でも考え方は同じです。
上下には円が2枚あります。
そして、その周りを長方形のような側面が囲んでいます。
したがって、「円2枚の面積＋側面積」を求めれば表面積になります。
ここで子どもがつまずきやすいのが、側面積です。
円柱の側面を切って広げると長方形になります。
この長方形のたては円柱の高さです。
そして横の長さは、「底面の円周」になります。
したがって、「円周×高さ」で側面積を求めることができます。
ここでも単なる公式として覚えるのではなく、紙を円柱状に丸めたり、実際の円柱形の容器に紙を巻いたりすると理解しやすくなります。
体積と表面積をごちゃごちゃにする子には「何を求めている？」と聞く
角柱・円柱が苦手な子によくあるのが、「体積なのに面積を求めて終わる」「表面積なのに底面積×高さをしてしまう」
という間違いです。
これは公式を知らないというより、問題で求められているもののイメージができていない可能性があります。
その場合は、計算を始める前に、「今回は中身を求めるの？外側を求めるの？」と聞いてみてください。
体積なら「立体の中にどれくらい入るか」、表面積なら「立体の外側を全部覆うとどれくらいの広さになるか」のイメージを持つだけでも、使う計算を区別しやすくなります。
また、「体積→㎤」「表面積→㎠」という単位の違いにも注目させるとよいでしょう。
算数が苦手な子ほど「公式を覚える前の段階」を大切にする
角柱や円柱が苦手だと、「公式を何度も書いて覚えさせた方がいいのでは？」と思うかもしれません。
しかし、公式を忘れてしまう子ほど、公式そのものを繰り返し暗記するだけでは改善しないことがあります。
重要なのは、「なぜその計算になるのか」を一つ前の学習内容とつなげることです。
例えば角柱の体積なら、
直方体の体積
↓
たて×よこ×高さ
↓
たて×よこは底面積
↓
底面積×高さ
↓
底面が三角形でも同じ
↓
底面が円でも同じ
というつながりがあります。
この流れが分かれば、公式を丸暗記する必要性はかなり小さくなります。
家庭で教えるなら「答え」よりも「どこが底面？」と聞いてみる
お子さんが角柱や円柱の問題で止まっていると、つい、「底面積を出して、高さをかけるんだよ」と教えたくなると思います。
もちろん、それでその問題は解けるかもしれません。
しかし、次の問題を自分で解けるようにするためには、少し違う声かけをしてみてください。
例えば、「この立体の同じ形の面はどことどこ？」「底面にするとしたらどこ？」「底面は何という図形？」「その面積はどうやって求める？」「直方体のたて×よこに当たる部分はどこだろう？」と聞いてみます。
答えを直接教えるのではなく、子ども自身に立体の構造を見つけてもらうことがポイントです。
このような確認を繰り返すことで、初めて見る立体でも「底面積×高さ」という考え方を使えるようになっていきます。
まとめ 角柱・円柱は公式ではなく「つながり」を理解する
角柱や円柱の体積・表面積が分からない場合、公式の暗記不足だけを疑う必要はありません。
特に体積については、「直方体→角柱→円柱」という順番で理解していくことが大切です。
直方体の「たて×よこ×高さ」のうち、「たて×よこ」が底面積であることに気づけば、「底面積×高さ」という角柱の体積の考え方につながります。
そして、角柱を見たときには、上と下、あるいは向かい合ったところに「同じ形・同じ大きさの面」があることを確認します。
そこまで理解できてから円柱へ進み、「今度は底面が円になっただけだね」とつなげていくとよいでしょう。
表面積についても同様です。
公式から入るのではなく、「立体の外側にある面を全部広げたら、どのような図形になるのか」を考えることが理解への近道です。
算数が苦手な子の場合、新しい単元を新しい知識として覚え続けようとすると、覚えることがどんどん増えてしまいます。
それよりも、「前に習ったことと、今回習っていることのどこが同じなのか」に気づいてもらうことが大切です。
角柱・円柱に限らず、「公式は覚えているのに問題になると解けない」「何度教えても同じところでつまずいてしまう」という場合には、現在の単元より少し前に戻ることで、原因が見つかることもあります。
お子さんの算数のつまずきについてお困りの場合は、体験授業・学習相談などからお気軽にご相談ください。